Definición y significado de Kreistag

Dieser Artikel behandelt die Kreistage als Volksvertretungen auf Kreisebene in der Bundesrepublik Deutschland. Zu den Kreistagen im Heiligen Römischen Reich siehe Reichskreis.

Der Kreistag ist in Deutschland die kommunale Volksvertretung auf der Ebene der Landkreise (Kreise).

Inhaltsverzeichnis 1 Stellung 2 Kompetenzen 3 Zusammensetzung 4 Ausschüsse 5 Städteregionstag

  Stellung

Die Errichtung von Kreistagen wird im Kommunalrecht der Länder im Einzelnen in Erfüllung des Gesetzgebungsauftrags aus Artikel 28 Absatz 1 Satz 2 Grundgesetz geregelt. Es handelt sich bei den Kreistagen nicht um Parlamente und nicht um Organe der Legislative. Vielmehr gehören die Kreistage als Organe der kommunalen Selbstverwaltung der Kreise zur Exekutive.

  Kompetenzen

Nach allen Kommunalverfassungen in Deutschland ist der Kreistag stets das Hauptorgan des Landkreises. Er entscheidet über alle grundlegenden Angelegenheiten des Landkreises und kann Grundsätze für die Verwaltung des Landkreises festlegen (Richtlinienkompetenz). Im Gegensatz hierzu führt der Landrat die laufenden Geschäfte und führt die Beschlüsse des Kreistages aus.

Die Beschlussmöglichkeiten des Kreistages sind auf die eigenen und übertragenen Aufgaben des Landkreises beschränkt. Soweit dem Landkreis nicht auch alle staatlichen Aufgaben übertragen sind (Vollkommunalisierung), kann der Kreistag hingegen nicht über die Arbeit des staatlichen Teils des Landrats oder Landratsamtes entscheiden.

  Zusammensetzung

Der Kreistag setzt sich grundsätzlich aus in allgemeinen, freien, unmittelbaren, gleichen und geheimen Wahlen von den Kreisbürgern (unter Einschluss der EU-Ausländer) gewählten Mitglieder zusammen. Die Wahlperiode dauert in den meisten Ländern fünf Jahre, in Bayern sechs Jahre.

In einigen Ländern gehört neben den ehrenamtlichen Mitgliedern auch der hauptamtliche Hauptverwaltungsbeamte des Kreises (Landrat), dem Kreistag an. Dabei ist zu beachten, dass die frühere Doppelspitze aus hauptamtlichen Oberkreisdirektor und damals ehrenamtlichem Landrat gemäß der norddeutschen Ratsverfassung mittlerweile in den letzten beiden Ländern (Nordrhein-Westfalen: 1994, Niedersachsen: 1996) abgeschafft ist.

In manchen Ländern liegt der Vorsitz über den Kreistag beim Landrat, in anderen Ländern wird aus der Mitte der (übrigen) Mitglieder ein gesonderter Vorsitzender des Kreistages, Kreistagspräsident oder Kreispräsident gewählt.

Die (übrigen) Mitglieder des Kreistages werden zum Teil als Mitglieder des Kreistages, ehrenamtliche Mitglieder des Kreistages, Kreistagsmitglieder, Kreisräte oder Kreistagsabgeordnete bezeichnet. Die Bezeichnung als Kreistagsabgeordnete ist dabei insofern irreführend, als die Mitglieder der Kreistage anders als die Mitglieder von Bundestag und Landtagen keine Parlamentarier sind und auch keine politische Immunität genießen.

Die landesspezifischen Unterschiede in der Zusammensetzung und im Vorsitz des Kreistages ergeben sich aus der nachstehenden Tabelle:

Land	Landesgesetzliche Regelung	Bezeichnung des Verwaltungsträgers auf Kreisebene	Zusammensetzung des Kreistages	Vorsitz über den Kreistag
Baden-Württemberg	Landkreisordnung für Baden-Württemberg	Landkreis	Kreisräte und Landrat	Landrat
Bayern	Landkreisordnung für den Freistaat Bayern	Landkreis	Kreisräte und Landrat	Landrat
Brandenburg	Kommunalverfassung für das Land Brandenburg	Landkreis	Kreistagsabgeordnete und Landrat	Vorsitzender des Kreistages (aus der Mitte der Kreistagsabgeordneten)
Hessen	Hessische Landkreisordnung	Landkreis	Kreistagsabgeordnete (ohne Landrat)	Vorsitzender des Kreistages (aus der Mitte der Kreistagsabgeordneten)
Mecklenburg-Vorpommern	Kommunalverfassung für das Land Mecklenburg-Vorpommern	Landkreis	Kreistagsmitglieder (ohne Landrat)	Kreistagspräsident (aus der Mitte des Kreistags)
Niedersachsen	Niedersächsisches Kommunalverfassungsgesetz	Landkreis	Kreistagsabgeordnete und Landrat	Vorsitzender des Kreistages (aus der Mitte der Kreistagsabgeordneten)
Nordrhein-Westfalen	Kreisordnung für das Land Nordrhein-Westfalen	Kreis	Kreistagsmitglieder (ohne Landrat)	Landrat
Rheinland-Pfalz	Selbstverwaltungsgesetz für Rheinland-Pfalz	Landkreis	Kreistagsmitglieder und Landrat	Landrat
Saarland	Kommunalselbstverwaltungsgesetz	Landkreis	Mitglieder des Kreistages (ohne Landrat)	Landrat
Sachsen	Landkreisordnung für den Freistaat Sachsen	Landkreis	Kreisräte und Landrat	Landrat
Sachsen-Anhalt	Landkreisordnung für das Land Sachsen-Anhalt	Landkreis	Ehrenamtliche Mitglieder des Kreistages und Landrat	Vorsitzender des Kreistages (aus der Mitte der ehrenamtlichen Mitglieder des Kreistages)
Schleswig-Holstein	Kreisordnung für Schleswig-Holstein	Kreis	Kreistagsabgeordnete (ohne Landrat)	Kreispräsident (aus der Mitte der Kreistagsabgeordneten)
Thüringen	Thüringer Kommunalordnung	Landkreis	Kreistagsmitglieder und Landrat	Landrat

  Ausschüsse

Der Kreistag bildet als Pflichtausschüsse nach den meisten Länderregelungen den Kreisausschuss als wichtigsten Ausschuss und den Rechnungsprüfungsausschuss, sowie nach Bundesrecht den Jugendhilfeausschuss. Er kann weitere Ausschüsse für bestimmte Aufgabenbereiche zur Vorbereitung seiner Beschlüsse oder zur abschließenden Entscheidung bilden.

  Städteregionstag

Das Pendant zum Kreistag ist in der seit 2009 bestehenden Städteregion Aachen der Städteregionstag. Er hat 72 Mitglieder. Den Vorsitz hat der Städteregionsrat.

Bitte den Hinweis zu Rechtsthemen beachten!

   

Der Titel dieses Artikels ist mehrdeutig. Weitere Bedeutungen sind unter Tag (Begriffsklärung) aufgeführt.

Mit dem Wort Tag (mhd. tag tac, asächs. dag, got. dags, germ. *dagaz)^[1] werden verschiedene Begriffe bezeichnet, die einen zeitlichen Bezug angeben oder herstellen. Gemeinsam ist ihnen die Bezugnahme auf eine periodisch wechselnde Belichtung. Deren Phasen, Phasenintervalle oder Perioden werden als Grundmuster bezogen, zu dem Vorgänge nach ihrem Verlauf in ein Verhältnis gesetzt werden können und dann zeitliche Struktur gewinnen.

Lichtintensität, Helligkeitsdauer und der Wechsel von hellen und dunklen Phasen auf der von der Sonne bestrahlten Erde bilden für zahlreiche Arten den natürlichen Hintergrund, wenn sie innere Prozesse aufeinander abstimmen und wiederholbare Verhaltensmuster entwickeln; derart können auch circadiane innere Rhythmen gebildet werden, mit denen sie nun über zeitgebendes Licht sich dann auf die äußeren Zyklen von Tag und Nacht einzustellen vermögen.

Als Wort ist Tag eine der am häufigsten gebrauchten Formen im Deutschen, als Begriff eine essentielle Form für den Bezug auf Zeit oder von Zeitbezug.
Das Begriffsfeld „Tag“ umfasst dabei unterschiedliche Konstruktionen des Zeitbezuges, die sich auf einfachere Formen zurückführen lassen. So kann „Tag“ in unmittelbarer Weise bestimmt werden als das Verhältnis, welches für einen Ort der Erdoberfläche durch das Sonnenlicht gegeben ist („dies Gegebene“, lateinisch: datum; siehe Datum).

Inhaltsverzeichnis 1 Dauer eines Tages 2 Tag als Zeitmaß 3 Kalendertag 3.1 Gregorianischer Kalendertag 3.2 Tage in anderen Kalendersystemen 4 Astronomische Tage 5 Lichter Tag 6 Subjektiver und sozialer Tag 7 Tagewerk 8 Siehe auch 9 Weblinks 10 Einzelnachweise

  Dauer eines Tages

Die Dauer eines Tages wird gebildet durch die Zeitspanne, die für einen Beobachter an diesem Ort der Erdoberfläche jeweils verstrichen ist, entweder während der lichten Phase oder für die ganze Periode aus hellem und dunklem Intervall. Die Zeitspanne möglicher Belichtung durch die Sonne wird im topozentrischen Bild zum Tagesbogen des Sonnenlaufs, im geozentrischen Bild als scheinbarer Lauf der Sonne um die Erde angesehen, im heliozentrischen Bild als Bewegung der Erde verstanden – zerlegt in deren Rotation und deren Umlauf.

Mit diesem Verständnis^[2] bestimmen eine rotatorische und eine revolutorische^[3] Komponente sowie ihr Verhältnis zueinander die Dauer eines sonnenbezogenen Tages; ein solcher Sonnentag kommt damit – entgegen einem verbreiteten Missverständnis – nicht zustande durch eine volle Umdrehung der Erde um sich selbst.
Auch muss ein Tag nicht genauso lange dauern wie der nächste; Tag als solcher ist daher keine Maßeinheit der Zeit im Unterschied zur Sekunde, mit der Tageslängen dann gemessen werden können.

Von dem Grundkonzept ausgehend sind eingeschränkte oder erweiterte, besondere und allgemeine Begriffe des Tages entwickelt worden:

• tags oder Tag nicht näher bestimmt oder bezogen, als Zeit mit Licht, somit des Tageslichts
• lichter Tag, die sonnenerhellte „helllichte“ Zeit von Sonnenaufgang bis Sonnenuntergang
• voller Tag, bestehend aus den Spannen nachts und tags, zum Beispiel Nychthemeron
• der Tag als ein abgeschlossener Zeitraum, wie zwischen Mitternacht und Mitternacht
• ein Tag als die bemessene Zeitspanne genau festgelegter Anzahl Stunden, meist 24
• ein Tag als ungefähr einer Zeitspanne von beispielsweise 24 Stunden entsprechend
• der Tag als ein durch bestimmte Festlegung seiner Grenzen definierbarer Zeitraum
• Wochentag, mit einer abzählbaren Stelle in der Anordnung einer Reihe von Tagen
• Kalendertag, summierbar in Aufzählung, so umgangssprachlich „aktuelles Datum“
• dieser Tag als ein besonderes Datum ausgezeichnet, wie Geburtstag oder Gedenktag
• subjektiver Tag, wie jemand seine Zeitspanne vom Aufstehen bis zum Schlafengehen erlebt
• kürzere Zeitabschnitte innerhalb eines Tagesablaufs, so etwa als Arbeitstag oder Schultag
• sozialer Tag, wie der Tagesablauf für Teilnehmer in Gesellschaft als üblich organisiert wird
• dem Tag auf der Erde analoge Begriffe, erweitert auf andere Himmelskörper
• ein Standard-Tag als Zeitmaß mit festgelegter Summe von SI-Einheiten Sekunde
• “Tag“ als uneigentlich gebrauchter, beispielsweise metaphorisch übertragener Begriff.

Die Benennung Tag wird also sowohl für ein Zeitmaß, wie für Zeitspannen als auch für Zeitpunkte verwendet. Auf diesen Tag heute als den aktuellen bezogen bezeichnet gestern den vergangenen und morgen den folgenden Tag. Auf den Tag als helle Zeit tags bezogen ist das Gegenteil nachts. Die Begriffe Tag und Nacht können damit einzeln oder zusammen je verschieden gefasst werden. Unterschiedliche Definitionen der Tagesgrenzen – ob dies nun der wahre, scheinbare oder mittlere Aufgang, Untergang oder Durchgang von Rand oder Mitte der Sonne als ein beobachtetes, errechnetes, festgelegtes oder verkündetes Datum sei – sowie die Zeitgleichung, Zeitzonen, Schalttage, Schaltsekunden, Referenzorte und Referenzsysteme führen dazu, dass beispielsweise auch der Anfang eines Kalendertages abhängig vom kulturellen Kontext anders gesetzt werden kann.

Gemeinhin übereinstimmend ist es tags dann, wenn Sonnenlicht direkt ins Auge fällt oder doch fallen kann, und auch dann, wenn dies der Fall sein könnte, aber die Augen zu, Wolken dazwischen, Gebäude im Weg oder nahe Berge davor sind und selbst dann, wenn der Aufenthalt drinnen ist, in einem Bau – unter den Umständen im Bergbau auch unter Tage.

Üblicherweise wird ein lichter Tag zwischen Aufgang und Untergang der Sonne gefasst. Da uns die Sonne nicht punktförmig, sondern als Sonnenscheibe erscheint unter einem Winkel von etwa einem halben Grad, würde es einen Unterschied von gut 2 Zeitminuten ausmachen, wenn man sich dabei auf die Sonnenmitte anstatt der ersten und letzten Sonnenstrahlen bezöge. Wollte man daneben berücksichtigen, dass infolge der Brechkraft irdischer Atmosphäre die Sonne über dem Horizont erscheinen kann, auch wenn sie ohne diese Lufthülle nicht zu sehen wäre, so würde in unseren Breiten für den Strahlengang eine Refraktionskorrektur von jeweils etwas mehr als einem halben Grad für Aufgang und Untergang nötig sein; durch die brechenden Luftschichten scheint uns die Sonne somit etwa 5 Minuten länger.
Wenn nicht der mathematisch auf einen idealen Horizont bezogene Tagbogen der Sonne zugrunde gelegt wird, sondern der tatsächliche – als der aufgrund des aktuellen Standortes für den natürlichen Horizont reale – Sonnenlauf in Betracht gezogen wird, dann hängt der lichte Tag für ein bestimmtes Datum nun nicht nur von der geographischen Lage ab, sondern er kann zudem je nach topographischer Umgebung im Gelände und Beobachtungshöhe über Grund deutlich verschieden sein.

Wegen Reflexion und Streuung an Partikeln der Erdatmosphäre erreicht auch nach Untergang und auch vor Aufgang der Sonne Licht indirekt die Oberfläche. Auf der Erde ist der Tag daher nicht scharf gegen die Nacht als plötzliche Dunkelheit abgesetzt und es gibt hier als Abendgrauen zu Nachtbeginn und Morgengrauen zu Nachtende Übergangszeiten von Dämmerung, die äquatornah nur kurz währen und polwärts dann zunehmend länger dauern. Sie lassen sich nach dem Helligkeitsgrad beziehungsweise nach dem geometrischen Stand der Sonne unter dem Horizont abstufen in bürgerliche (im Buch den Schriftsatz erkennen können, bis 6°) und nautische (auf dem Meer die Horizontlinie Kimm erkennen können, bis 12°) sowie astronomische Dämmerung (am Himmel zunehmend mehr Sterne erkennen können, bis 18°), bis dass der Hintergrund dann nicht mehr dunkler wird oder nachtschwarz ist. Betrachtet man die Erde mit einer Perspektive vom All aus, so erscheint auf der Erdscheibe die Grenze zwischen Licht- und Schattenseite, ihr solarer Terminator, infolge der streuenden Lufthülle unscharf.

Mit Blick auf die Erde als Ganze und einer Kugel ähnlich, global gesehen, entsprechen dem Aufgang und Untergang der Sonne je eine über die Erdoberfläche ziehende Nacht-Tag- beziehungsweise Tag-Nacht-Grenze; diese fassen also zwischen sich schattenseits Nacht und lichtseits lichten Tag. Die fortlaufende Verschiebung der Licht-Schatten-Grenzen bezüglich Orten der Oberfläche, nun lokal gesehen bis hin zur Wiederholung der gleichen Stellung für einen Ort, bildet so einen vollständigen Tag-Nacht-Zyklus. Dieser Umfang wird auch ein voller Tag genannt und kann denn als Tagesspanne unterschiedlich bestimmt werden, grob zwischen Morgen und Morgen oder Abend und Abend, oder genauer zwischen Mittag und Mittag oder aber Mitternacht und Mitternacht, wie in der zurzeit gebräuchlichen Form.

Herkömmlich wird die Dauer eines Tages definiert als jener Zeitumfang, den die Erde oder ein Himmelskörper braucht, um eine einzelne Drehung in Bezug auf einen Stern zu vollziehen, präzise gemessen von einer Kulmination zur nächsten folgenden beziehungsweise von Durchgang zu Durchgang desselben Meridians. In Hinsicht auf einen fernen Stern, als fixiert angenommen, wäre dies ein Siderischer Tag und gleichwertig einer vollständigen Umdrehung des Körpers um sich selbst. Im Hinblick auf die Sonne, bezogen als zentrales Gestirn, ist dieser Sonnentag nicht gleich einer ganzen Rotationsperiode des Körpers um seine Achse – denn der Lauf um die Sonne würde für sich genommen ja schon einen Tag während des jährlichen Umlaufes allein durch Revolution hervorbringen.

Da die Erde sich nicht auf einer Kreisbahn mit immer gleicher Winkelgeschwindigkeit um die Sonne dreht, sondern ihren elliptischen Orbit verschieden schnell durchläuft, nehmen wahre Sonnentage im Verlauf des Jahres unterschiedliche Zeitspannen ein. Eine zusätzliche Ungleichheit der Tageslängen entsteht dadurch, dass die Rotationen der Erde um ihre Achse nicht exakt dieselbe Periodendauer aufweisen.

Durchschnittlich dauern sonnenbezogene Tage auf der Erde gegenwärtig ungefähr 86.400 Sekunden. Mit dem gerundeten Mittelwert ist der – fiktive, gleichförmig verlaufende – mittlere Sonnentag geschaffen worden, der als sogenannter bürgerlicher Tag zur Grundlage des kalendarischen Zeitbezuges wurde. Bis Ende der 1960er Jahre waren auch die infradianen Zeitmaße Stunde, Minute, Sekunde als Bruchteile eines mittleren Sonnentages (des tropischen Jahres 1900) bestimmt. Heute steht neben einer solchen Sonnensekunde die Atomsekunde, mit der nun die Maßeinheit der Zeit als SI-Sekunde international gültig festgelegt wird.

  Tag als Zeitmaß

Einheit
Norm	Zum Gebrauch mit dem SI zugelassen, Richtlinie 80/181/EWG
Einheitenname	Tag
Einheitenzeichen	[1]
Beschriebene Größe(n)	Zeit, Zeitspanne, Dauer
Größensymbol(e)
Dimensionsname	Zeit
Dimensionssymbol	T
In SI-Einheiten
Abgeleitet von	d .. lat. dies (Tag)
Siehe auch: Jahr, Monat, Stunde, Minute Anm.:[1] ein hochgestelltes ist nicht normgerecht, aber üblich

Im Messwesen wird eine Maßeinheit „Tag“ der physikalischen Größe Zeit (Dauer) als ein bestimmtes Vielfaches der Basiseinheit Sekunde des Internationalen Einheitensystems (SI) definiert. Das Einheitenzeichen ist der kleine Buchstabe „d“, nach dem lateinischen Wort dies für Tag.

1 d = 24 h = 1440 min = 86 400 s

Die Einheit „Tag“ ist selbst keine konforme SI-Einheit, darf aber als gesetzliche Maßeinheit zusammen mit SI-Einheiten verwendet werden. Die Definition ist so gewählt, dass „d“ ungefähr der mittleren Dauer von sonnenbezogenen Tagen auf der Erde entspricht.

Da die natürlich auftretenden Sonnentage infolge der periodischen Schwankungen und auch wegen nicht periodischer Verschiebungen ja verschieden lange dauern, ergeben sich denn Differenzen zu einem Bezugsmuster, dem die Maßeinheit „d“ als Standard für Tag zugrunde gelegt wird. Erst mit einem Referenzsystem im Hintergrund kann dann für die unterschiedlichen Zeitspannen tatsächlicher Tage über die Zeitgleichung ein wiederholbares Zeitmaß konstruiert, auf eine Maßeinheit bezogen und durch Schaltsekunden gegebenenfalls angepasst werden.

In ähnlicher Weise wird heute die Koordinierte Weltzeit (UTC) gebildet.

  Kalendertag

Der Kalendertag ist in der Kalenderrechnung als Zeitspanne neben dem Kalenderjahr und bisweilen dem Kalendermonat die grundlegende Größe. Beginn und Ende eines solchen Tages sind abhängig von der Zeitzone auf die sich die Angabe bezieht.

  Gregorianischer Kalendertag

In dem bei uns gebräuchlichen gregorianischen Kalender ist ein Tag die Zeitspanne von einer Mitternacht bis zur nächsten Mitternacht.

Eine Zeitspanne von 24 Stunden, die um 00:00 Uhr beginnt und um 24:00 Uhr endet. 24:00 Uhr fällt mit dem Beginn des nächsten Tages zusammen (ISO 8601)

Eine Kombination wie 5. Mai, also bestimmt durch Monat und Tagesnummer, aber ohne Jahr, nennt man einen Kalendertag.

Die Kalendertage werden nach der ISO 8601 innerhalb eines Monats von „1“ ausgehend als Kalenderdatum fortlaufend nummeriert und in einem Datumsformat schriftlich fixiert. Außerdem wird ihnen, von Monat und Jahr unabhängig, in fester Reihenfolge ein Wochentag zugewiesen. Damit beschreibt das Datum des Tages eine fortlaufende Zeitskala (lineare Zeit), in Unterscheidung zum Wochentag, das sich in seinem Ablauf regelmäßig wiederholt (zyklische Zeit).

  Tage in anderen Kalendersystemen

Der Tagesbeginn um Mitternacht ist eine Übereinkunft angelehnt an Konventionen der Astronomie. Andere Kalendersysteme setzen den Tagesbeginn auf den Sonnenaufgang. Im jüdischen und islamischen Kalender umfasst der Tag die Zeit von einem Sonnenuntergang bis zum nächsten Sonnenuntergang. Diese Auffassung war im europäisch-vorderasiatischen Raum insgesamt lange vorherrschend. Die römische Zählung der Nachtstunden (vigiliae) und bestimmte Elemente des christlichen Ritus können als Beispiele genannt werden. Das bekannteste Beispiel dürfte der Beginn des Weihnachtsfestes (25. Dezember) bereits an seinem Vorabend sein, der nach moderner Rechnung noch zum 24. Dezember gehört (Heiligabend). Die Setzung des Tagesbeginns auf den Sonnenuntergang ist besonders in Kombination mit Mondkalendern zweckmäßig, bei denen der Monat ebenfalls abends mit der dann sichtbaren neuen Mondsichel beginnt.

Siehe auch:

• altägyptischer Tag, zeitliche Aufteilung des Tages im Alten Ägypten
• mesopotamischer Tag, Nychthemeron, zeitliche Aufteilung des Tages im Alten Orient

Eine Besonderheit sind die synodischen lunaren Tage Tithi der Vedischen Zeitrechnung, die in ihrer Dauer zwischen 19 und 26 Stunden variieren, mit 1 masa (Lunarmonat) = 30 tithi

  Astronomische Tage

Es gibt verschiedene dem Kalendertag ähnliche Größen, die ihren Ursprung in den komplexen Bewegungen der Himmelskörper und den verschiedenen Bezugspunkten himmelsmechanischer Berechnungen haben:

Wahrer Sonnentag

Die Zeitspanne von einem Sonnenhöchststand bis zum nächsten Sonnenhöchststand. Auf dem Sonnentag basiert die Sonnenzeit, das ist die Wahre Ortszeit (WOZ).

Mittlerer Sonnentag oder Bürgerlicher Tag

Das ist in etwa das Jahresmittel der wahren Sonnentage. Der Mittlere Sonnentag, auch Bürgerlicher Tag genannt, stimmt nahezu mit dem Kalendertag überein; gelegentlich wird aber durch das Einfügen von Schaltsekunden aufgrund der nicht konstanten Erdrotation die Tageslänge verändert. Diese Anpassungen synchronisieren die Weltzeit mit der Universalzeit und der Atomzeit.
Dauer: 24 Stunden (plus/minus 1 Sekunde)

Siderischer Tag

Die Umdrehungszeit der Erde in Bezug auf die Fixsterne. Der Siderische Tag (im Englischen "stellar day") bezieht sich also nicht auf die Belichtung durch die Sonne, sondern auf das Licht anderer ferner Sterne, die als feststehend angenommen werden.
Dauer: rund 23 Stunden 56 Minuten 4 Sekunden

Sterntag

Die Umdrehungszeit der Erde in Bezug auf die Kulmination des Frühlingspunktes wird – nicht ganz treffend – als Sterntag bezeichnet (im Englischen "sidereal day"). Auf dem Sterntag beruht die Sternzeit; seine Dauer ist nur im Tausendstelsekundenbereich vom Siderischen Tag verschieden, für exaktere astronomische Berechnungen aber von Bedeutung.

Ephemeridentag

Der Tag, der auf der Ephemeridensekunde beziehungsweise der Ephemeridenzeit aufbaut, heißt Ephemeridentag.

Für die Festlegung der Weltzeit oder zum Auffinden von Sternörtern wird die Sonnenzeit beziehungsweise die Sternzeit in Referenz auf den Nullmeridian angegeben.

Außerirdische Tage

In allgemeinerer Form wird unter einem Tag die Zeitspanne zwischen zwei aufeinanderfolgenden gleichen oder vergleichbaren Belichtungsphasen auf einem Himmelskörper verstanden. Bezogen auf dessen Belichtung durch das umlaufene Zentralgestirn ergibt sich ein Tag dann, wenn die Rotationsbewegung des Körpers und seine Umlaufbewegung zueinander ins Verhältnis gesetzt werden nach ihrer Dauer, Ebene und Richtung.

So gibt es neben dem Tag auf der Erde beispielsweise auch einen „Marstag“ („Sol“ genannt) und einen „Merkurtag“; gemessen in irdischen Zeitnormen – d als Maßeinheit Tag auf Basis der SI-Sekunde – dauert ein Tag auf dem Mars etwa 24 Stunden und 40 Minuten und auf Merkur etwa 176 Tage d. Der „Mondtag“ als Tag auf dem Erd-Mond ist im Mittel etwa 29,53 Tage d lang; diesem entspricht dann eine Periode der Mondphasen, wenn sie von der Erde aus betrachtet werden – von einem Neumond bis zum nächsten Neumond ist das gleich einem synodischen Monat.

Frühere irdische Tage

Da die Rotation der Erde im Laufe der Zeit abgebremst wird – insbesondere durch Gezeitenwirkungen des Mondes – werden künftige Erdtage tendenziell länger; umgekehrt dauerte ein Tag auf der Erde früher nicht so lange wie heute. Vor etwa 600 Millionen Jahren vollzog die Erde eine volle Drehung um sich selbst in etwa 22 heutigen Stunden. Da der Umlauf um die Sonne etwa genauso lange wie heute dauerte, hatte ein Jahr damals knapp 400 Sonnentage. Belege dafür finden sich unter anderem in den zyklisch abgelagerten Sedimenten (Warven) präkambrischer Gesteine.

Für die sehr junge Erde vor etwa 4,5 Milliarden Jahren ergaben numerische Simulationen eine Tagesdauer von etwa 6 Stunden. Die Verhältnisse noch früherer Zeiten vor der Entstehung des Mondes und einer mutmaßlich vorangegangenen Kollision des hypothetischen Protoplaneten Theia mit der Proto-Erde lassen sich nur schwer rekonstruieren.

  Lichter Tag

Als lichten Tag bezeichnet man die Zeitspanne, die von Sonnenaufgang bis Sonnenuntergang reicht, also den helllichten Tag mit Tageslicht und so auch den durch Sonnenlicht erhellten Abschnitt eines Kalendertages, in dem es nicht „Nacht“ ist. In den antiken Kulturen und auch noch während des Mittelalters war der Unterschied zwischen Tag und Nacht gleich dem von hell und dunkel und somit von weitaus größerer Bedeutung als in den meisten heutigen Gesellschaften, deren Lebensrhythmus durch eine künstliche Beleuchtung verschiebbar geworden ist.

Dem Begriff des lichten Tags entspricht idealisiert der astronomische Begriff Tagbogen der Sonne. Während der helle Tagesabschnitt in äquatornahen Regionen ungefähr gleich bleibt, hängt seine Länge mit zunehmender Äquatorferne stärker von Standort und Jahreszeit ab. Im mittleren Mitteleuropa zum Beispiel dauert der lichte Tag minimal rund 8 Stunden im tiefen Winter und etwa doppelt so lange mit maximal rund 16 Stunden im hohen Sommer – wenn die Sonne je ihren tiefsten oder ihren höchsten Stand mittags über dem Horizont erreicht, im Laufe eines Jahres. Zu diesen Solstitien oder Sonnenwenden kehrt sich der Trend nun jeweils um und die lichten Tage werden wieder länger (vor Beginn der Weihnachtszeit) beziehungsweise wieder kürzer (ab Mittsommer). Bei Gebrauch der astronomischen Bestimmungen für die kalendarischen Jahreszeiten markieren diese Termine dann allerdings nicht mehr die Mitte von Sommer oder Winter, sondern definieren deren Anfang.

Jenseits einer geografischen Breite von etwa 66°, dem Polarkreis, treten um die Termine der Sonnenwenden nun auch – polwärts zunehmend längere – Zeitspannen auf, in denen die Sonne während einer Rotationsperiode gar nicht mehr über dem Horizont erscheint beziehungsweise gar nicht mehr untergeht. Da nach Sichtbarkeit der Sonne dann Tageslängen nicht anders zu bestimmen sind, werden diese Spannen als Polarnacht beziehungsweise Polartag bezeichnet; sie können bis zu einem halben Jahr dauern, arktisch am Nordpol oder antarktisch am Südpol.

  Subjektiver und sozialer Tag

Im täglichen Leben wird der subjektive Tag, englisch auch awake time period, durch den Rhythmus von Aufstehen und Schlafengehen bestimmt. Der Tag wird oft in die Abschnitte Nacht, Morgen, Vormittag, Mittag, Nachmittag, Abend und Mitternacht gegliedert. Mittag und Mitternacht können dabei sowohl die genaue Uhrzeit wie auch ungefähre Zeitspannen bezeichnen.

Biologische Rhythmen treten mit verschiedener Periodendauer auf − mehrere Jahre, einem Jahr oder Monat oder Tag gleich oder auch kürzere ultradiane Zeitspannen – und können als wiederholte Muster der Anpassung innerer Zustände an äußere Umstände verstanden werden. Dabei wird die Änderung der inneren Prozessbereitschaft eines Organismus als endogener Rhythmus organisiert und über gewisse Signale an die zeitlichen Schwankungen im Ablauf von Veränderungen seiner Umgebung gekoppelt. Verändert sich die Umgebung kaum oder fehlen entsprechende externe Signale, so läuft der endogene Rhythmus frei mit einer eigenen Periodenlänge. Beträgt die ungefähr einen Tag, wird von Circadianem Rhythmus gesprochen. Erzeugt wird dieser endogene Circadiane Rhythmus in einem Organismus – man findet ihn bei Pflanzen und Tieren wie dem Menschen – durch ein schwingendes Teilsystem, Oszillator oder Innere Uhr genannt, das als Schrittmacher fungierend nun mögliche Takte als Phase vorgibt, deren Länge oder Intervall dann über äußere Reize, Zeitgeber genannt, feiner abgestimmt wird. Dadurch können innere und äußere Verhältnisse hinsichtlich ihrer zeitlichen Struktur in Einklang gebracht werden und so synchron sein wie innere Schwingungen veränderten äußeren Schwankungen angeglichen wurden (Entrainment).

Die meisten chronobiologisch untersuchten Lebewesen konstruieren den passenden tatsächlichen Tagesrhythmus mit Licht als dem wichtigstem Zeitgeber; für die Organisation passender natürlicher Bezüge wirkt also das Licht des Tages zeitgebend.

Für die überwiegende Mehrzahl der Menschen fallen innerlich erlebter subjektiver Tag und äußerlich verlangter „objektiver“ Zeitbezug wenig auseinander. In den gemäßigten Breiten korrespondiert allerdings der Tagesablauf gegenwärtig zumeist nicht mehr mit dem lichten Tag; im Sommerhalbjahr erwacht man erst lange nach Tagesanbruch, im Winter wird man schon vorher wach – und während die Sonne über dem Horizont steht, halten sich viele Menschen gar nicht im Freien auf. Das wird als eine der Ursachen der saisonalen Depression (Winterdepression) gesehen; die Stärke künstlicher Beleuchtung beträgt nur Bruchteile der Leuchtdichte eines natürlich hellen Tages.

Weniger leicht ist die Situation für Menschen, deren subjektiver Tag oft oder regelmäßig nicht dem bürgerlichen Tagesablauf (sozialer Tag) folgt, so etwa bei Schichtarbeit. Solche Personen bezeichnen intuitiv die Zeit nach Mitternacht als zum vorhergehenden Tag gehörig. Die Verschiebung zum Kalendertag fällt ihnen dann etwa beim Verfassen schriftlicher Datumsangaben auf, da die Kommunikation zur – schlafenden – übrigen Gesellschaft eingeschränkt ist. Problematischer aber ist die Verschiebung des Schlafrhythmus gegen den lichten Tag, die auch zu gesundheitlichen Störungen (shift work sleep disorder) führen kann oder beim Wachdienst die gefürchtete Hundswache verursacht. Endgültig verwirrend wird die Situation, wenn der persönliche Tag sich soweit verschiebt, dass er sich mit dem nächsten sozialen Tag überschneidet, wie es bei nächtlicher Schichtarbeit oder auch bei gravierenden Schlafstörungen auftreten kann. Menschen, deren persönlicher Tag als individueller Lebensstil permanent gegenüber dem lichten Tag verschoben scheint, bezeichnet man als Nachtmenschen.^[4]

Eine andere Problematik ergibt sich aus der möglichen Zeitverschiebung gegenüber anderen Zeitzonen. Bei der Kommunikation mit Menschen, deren Ortszeit beträchtlich von der eigenen abweicht, ist eine Abklärung, welcher Tag dort heute ist, unabdingbar. Im modernen computerunterstützen Leben wird das durch Zeitzonenuhren unterstützt, oder die Funktion, dass E-Mails in UTC datiert und erst vor Ort umgerechnet werden. Bei Fernreisen in andere Zeitzonen tritt aufgrund der Desynchronisation der inneren Uhr mit verschiedenen örtlichen lichten Tagen der Jetlag auf.

Siehe auch: Zeitwahrnehmung, Chronopsychologie, Chronobiologie

  Tagewerk

Im Mittelalter, aber auch noch bis in das frühe 19. Jahrhundert – und in vielen Weltgegenden außerhalb Europas bis heute – wird den ganzen Tag von „früh bis spät“ gearbeitet, der Arbeitstag – die tägliche Arbeitszeit – beträgt bis zu 16 Stunden. Das Tagewerk ist synonym zur dabei verrichteten Arbeit. Bis heute ist es Pflicht des Arbeitnehmers, ausgeruht zur Arbeit zu erscheinen, daher zählt die Nacht als Schlafzeit zu den Verpflichtungen des arbeitenden Menschen. Erst damit, dass gesetzliche Regeln über die erlaubte maximale tägliche Arbeitszeit (Arbeitszeitgesetze) eingeführt werden, tut sich nach der Arbeit ein Zeitfenster auf, das weder für Arbeit noch für Ruhe genutzt werden muss. Am Anfang der geschichtlichen Entwicklung ist das der Feierabend, der nur ein, zwei Stunden beträgt. Mitte des 20. Jahrhunderts aber reduziert sich die tägliche Arbeitszeit von 10 auf meist 8 Stunden, und der beträchtliche Zeitraum bekommt den Namen Freizeit, als „freie“ Zeit zwischen Tag und Nacht.

Ähnlich verlaufen die Entwicklungen beim Schultag und der Unterrichtszeit.

Heute kommt dieser Begriff des Tages als Arbeitszeit hauptsächlich in manchen sprachlichen Wendungen zum Ausdruck, etwa Halbtagsarbeit, der Frage „Wie war der Tag?“ (auch wenn das Kind zu Mittag nach Hause kommt), „mit seinem Tagewerk zufrieden sein“, und dem „Feierabend“ als Ende der Arbeitszeit am späten Nachmittag.

Noch heute werden viele Feiertage schon am Vorabend begangen, zum Beispiel als Heiligabend oder Nikolausabend, denn in manchen früheren Kalendern im europäischen Raum begann der neue Tag ähnlich wie in jüdischen und islamischen Kalendern nicht erst um Mitternacht, sondern schon mit der lokalen Abenddämmerung, und so ein Feiertag mit dem Feierabend.

  Siehe auch

• Jahr und Tag – eine alte Rechtsfrist
• Gedenktag, Tag des Herrn – ausgezeichnete spezielle Tage
• Tagesspiegel, Tageschronik

  Weblinks

  Einzelnachweise

1. ↑ Brüder Grimm: Deutsches Wörterbuch, nach Das Deutsche Wörterbuch retrodigitalisiert von Uni Trier; Eintrag unter TAG
2. ↑ dargelegt in “De Revolutionibus Orbium Coelestium“ durch Nicolaus Copernikus; später aufgefasst als Kopernikanische Wende
3. ↑ daran anschließend beschreibt Johannes Kepler in “Astronomia Nova“ den Umlauf – anstelle eines Kreisens auf Sphären – als Bewegung auf einer elliptischen Bahn und formuliert die Keplerschen Gesetze
4. ↑ Forscher untersuchen innere Uhr des Menschen. In: CORDIS. Amt für Veröffentlichungen der EC, 23. Januar 2007, abgerufen am 22. September 2009 (Zur Studie T. Roenneberg, et al.: The human circadian clock entrains to sun time. Current Biology, 2007, 17: R44-R45.).  vgl. EUCLOCK: Humans, Forschungsproject der EU zu Chronobiolgie, Subprojekt Humanforschung an der Universität Basel.

   

Der Titel dieses Artikels ist mehrdeutig. Weitere Bedeutungen sind unter Kreis (Begriffsklärung) aufgeführt.

Ein Kreis ist definiert als Menge aller Punkte auf einer Ebene, deren Abstand von einem vorgegebenen Punkt dieser Ebene konstant ist. Der vorgegebene Punkt heißt Mittelpunkt des Kreises. Der Abstand der Kreispunkte zum Mittelpunkt ist der Radius oder Halbmesser des Kreises, er ist eine positive reelle Zahl. Der Begriff Kreis gehört zu den wichtigsten Begriffen der euklidischen Geometrie.

Schon die alten Ägypter und Babylonier versuchten, den Flächeninhalt des Kreises näherungsweise zu bestimmen. Besonders in der griechischen Antike war der Kreis wegen seiner Vollkommenheit von großem Interesse. Beispielsweise versuchte Archimedes erfolglos, mit den Werkzeugen Zirkel und Lineal den Kreis in ein Quadrat mit gleichem Flächeninhalt zu überführen, um so den Flächeninhalt des Kreises bestimmen zu können. Ein solches Verfahren zur Berechnung des Flächeninhalts nennt man die Quadratur des Kreises. Erst 1882 konnte Ferdinand von Lindemann durch Nachweis einer besonderen Eigenschaft der Kreiszahl zeigen, dass diese Aufgabe unlösbar ist.

Inhaltsverzeichnis 1 Worterklärungen 1.1 Kreisflächen 1.2 Bogen, Sehne, Sektor und Segment 1.3 Tangente, Passante und Sekante 2 Formale Definition 3 Geschichte 3.1 Zeit der Ägypter und Babylonier 3.2 Antike 3.3 Renaissance 3.4 19. Jahrhundert 4 Gleichungen 4.1 Koordinatengleichung 4.2 Funktionsgleichung 4.3 Parameterdarstellung 4.4 Komplexe Darstellung 5 Kreisberechnung 5.1 Kreiszahl 5.2 Umfang 5.3 Kreisfläche 5.4 Durchmesser 5.5 Krümmung 5.6 Weitere Formeln 6 Näherungen für den Flächeninhalt 6.1 Annäherung durch Quadrate 6.2 Auszählen in einem Raster 6.3 Annäherung durch Vielecke 7 Geometrische Sätze und Begriffe rund um den Kreis 7.1 Symmetrie und Abbildungseigenschaften 7.2 Kreiswinkel und Winkelsätze 7.3 Sätze über Sehnen, Sekanten und Tangenten 7.4 Umkreise und Inkreise 7.5 Kreisspiegelungen und Möbiustransformationen 8 Konstruktionen mit Zirkel und Lineal 8.1 Thaleskreis 8.2 Konstruktion von Tangenten 8.3 Flächenverdoppelung 8.4 Kreisteilung 9 Kreisberechnung in der Analysis 9.1 Der Kreis als Kurve 9.2 Kreisumfang 9.3 Flächeninhalt 9.4 Krümmung 9.5 Isoperimetrisches Problem 10 Verallgemeinerungen und verwandte Themen 10.1 Sphäre 10.2 Kegelschnitte 10.3 Kreise in der synthetischen Geometrie 10.4 Zeichnung im digitalen Raster 11 Siehe auch 12 Literatur 13 Weblinks 14 Einzelnachweise

  Worterklärungen

  Kreisflächen

Nach dieser Definition ist ein Kreis eine Kurve, also ein eindimensionales Gebilde, und keine zweidimensionale Fläche. Da das Wort „Kreis“ aber oft ungenau auch für die eingeschlossene Fläche benutzt wird, verwendet man zur Verdeutlichung häufig die Begriffe Kreislinie, Kreisrand oder Kreisperipherie ^[1] anstatt Kreis – im Gegensatz zur Kreisfläche oder Kreisscheibe. Mathematiker unterscheiden dann noch zwischen der abgeschlossenen Kreisfläche oder -scheibe und der offenen (oder dem Kreisinneren), je nachdem ob die Kreislinie dazugehört oder nicht.

  Bogen, Sehne, Sektor und Segment

Eine zusammenhängende Teilmenge des Kreises (also der Kreislinie) ist ein Kreisbogen. Eine Verbindungsstrecke zweier Punkte der Kreislinie bezeichnet man als Kreissehne. Zu jeder Sehne gehören zwei Kreisbogen (im Allgemeinen ein kürzerer und ein längerer). Die längsten Kreissehnen sind diejenigen, die durch den Mittelpunkt verlaufen, also die Durchmesser. Die zugehörigen Kreisbogen heißen Halbkreise.

Ein Kreissektor (Kreisausschnitt) ist eine Fläche, die von zwei Radien und einem dazwischen liegenden Kreisbogen begrenzt wird. Bilden die zwei Radien einen Durchmesser, so werden auch die Sektoren oft als Halbkreise bezeichnet.

Kreissegmente (Kreisabschnitte) werden von einem Kreisbogen und einer Kreissehne eingeschlossen.

  Tangente, Passante und Sekante

Für die Lage einer Geraden in Bezug auf einen gegebenen Kreis gibt es drei Möglichkeiten:

• Ist der Abstand zwischen Mittelpunkt und Gerade kleiner als der Kreisradius, so haben Kreis und Gerade zwei (verschiedene) Schnittpunkte und man nennt die Gerade Sekante (lateinisch secare = schneiden). Manchmal bezeichnet man den Spezialfall einer Sekante, die durch den Mittelpunkt eines Kreises verläuft, als Zentrale.
• Stimmt der Abstand des Mittelpunkts zu der Geraden mit dem Radius überein, so gibt es genau einen gemeinsamen Punkt. Man sagt, dass die Gerade den Kreis berührt, und nennt die Gerade eine Tangente (lateinisch tangere = berühren). Eine Tangente steht im Berührpunkt senkrecht (orthogonal, normal) zum entsprechenden Radius.
• Falls der Abstand des Kreismittelpunkts von der Geraden größer ist als der Kreisradius, dann haben Kreis und Gerade keinen Punkt gemeinsam. In diesem Fall bezeichnet man die Gerade als Passante. Diese Bezeichnung hat keinen unmittelbaren lateinischen Ursprung, sondern wurde wohl nach franz. oder ital. passante = Vorbeigehende gebildet. Die lat. Wurzel ist passus = Schritt.

  Formale Definition

In einer Ebene ist ein Kreis mit Mittelpunkt und Radius die Punktmenge

^[2]

Dabei ist der Radius eine positive reelle Zahl, und bezeichnet die Länge der Strecke .

Der doppelte Radius heißt Durchmesser und wird oft mit bezeichnet. Radius und Durchmesser sind durch die Beziehungen oder miteinander verknüpft.

Andererseits wird aber auch jede Strecke, die den Mittelpunkt mit einem Punkt auf der Kreislinie verbindet, als Radius bezeichnet, und jede Strecke, die durch den Mittelpunkt geht, und deren beide Endpunkte auf der Kreislinie liegen, als Durchmesser. Bei dieser Sprechweise ist die Zahl die Länge jedes Radius und die Zahl die Länge jedes Durchmessers.

Die offene Kreisfläche ist formal definiert als die Punktmenge

,

die abgeschlossene Kreisscheibe als

  Geschichte

  Zeit der Ägypter und Babylonier

Der Kreis gehört neben dem Punkt und der geraden Linie zu den ältesten Elementen der vorgriechischen Geometrie.^[3] Schon zweitausend Jahre vor Christus beschäftigten sich die Ägypter mit ihm in ihren Studien zur Geometrie. Sie konnten den Flächeninhalt eines Kreises näherungsweise bestimmen, indem sie vom Durchmesser d ein Neuntel seiner Länge abzogen und das Ergebnis mit sich selbst multiplizierten. Sie rechneten also

und bestimmten so näherungsweise (mit einer Abweichung von nur etwa +0,6 %) den Flächeninhalt einer Kreisfläche. Diese Näherung wurde in der altägyptischen Abhandlung Papyrus Rhind gefunden, sie lässt sich erhalten, wenn man den Kreis durch ein unregelmäßiges Achteck annähert.^[4]

Die Babylonier (1900 bis 1600 vor Christus) benutzten eine ganz andere Methode, um den Flächeninhalt der Kreisscheibe zu berechnen. Im Gegensatz zu den Ägyptern gingen sie vom Kreisumfang aus, den sie als dreimal den Kreisdurchmesser schätzten. Der Flächeninhalt wurde dann auf ein Zwölftel des Quadrates des Umfanges geschätzt, also^[5]

, mit einer Abweichung von –4,5 % ein deutlich schlechteres Ergebnis.

Die Babylonier beschäftigten sich aber auch schon mit Kreissegmenten. Sie konnten die Länge der Sehne oder die Höhe des Kreissegments (die senkrecht auf der Sehnenmitte stehende Strecke zwischen Sehne und Umfang) berechnen. Damit begründeten sie die Sehnengeometrie, die später von Hipparch weiterentwickelt wurde und die Claudius Ptolemaios an den Anfang seines astronomischen Lehrbuches Almagest stellte.^[6]

  Antike

Die Griechen werden meist als die Begründer der Wissenschaft von der Natur angesehen. Als der erste bedeutende Philosoph dieser Zeit, der sich mit Mathematik beschäftigte, gilt Thales von Milet (624–546 v. Chr.). Er brachte Wissen über die Geometrie aus Ägypten mit nach Griechenland, wie zum Beispiel die Aussage, dass der Durchmesser den Kreis halbiert. Andere Aussagen zur Geometrie wurden von Thales selbst aufgestellt. Der heute nach Thales benannte Satz besagt, dass Peripheriewinkel im Halbkreis rechte Winkel sind. Insbesondere war Thales der erste, bei dem der Begriff des Winkels auftrat.^[7]

Die erste bekannte Definition des Kreises geht auf den griechischen Philosophen Platon (428/427–348/347 v. Chr.) zurück, die er in seinem Dialog Parmenides formulierte:

„Rund ist doch wohl das, dessen äußerste Teile überall vom Mittelpunkt aus gleich weit entfernt sind.“

– Platon: Parmenides^[8]

Zirka 300 Jahre vor Christus lebte der griechische Mathematiker Euklid von Alexandria. Über ihn selbst ist wenig bekannt, aber sein Werk im Bereich der Geometrie war beachtlich. Sein Name ist heute noch in Zusammenhängen wie euklidischer Raum, euklidische Geometrie oder euklidische Metrik in Gebrauch. Sein wichtigstes Werk waren Die Elemente, eine dreizehnbändige Abhandlung, in der er die Arithmetik und Geometrie seiner Zeit zusammenfasste und systematisierte. Er folgerte die mathematischen Aussagen aus Postulaten und begründete damit die euklidische Geometrie. Der dritte Band der Elemente beschäftigte sich mit der Lehre über den Kreis.^[9]

Von Archimedes, der vermutlich zwischen 287 v. Chr. und 212 v. Chr. auf Sizilien lebte, ist eine ausführliche Abhandlung mit dem Titel Kreismessung überliefert.^[10] Er bewies in dieser Arbeit, dass der Flächeninhalt eines Kreises gleich dem Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks mit dem Kreisradius als der einen und dem Kreisumfang als der anderen Kathete ist. Der Flächeninhalt des Kreises lässt sich also als ½ · Radius · Umfang angeben. Mit dieser Erkenntnis führte er das Problem der Quadratur des Kreises auf die Frage der Konstruierbarkeit des Umfangs aus dem vorgegebenen Radius zurück. In seiner Abhandlung Kreismessung konnte Archimedes ebenfalls zeigen, dass der Umfang eines Kreises größer als 3¹⁰/₇₁ und kleiner als 3¹/₇ des Durchmessers ist. Für praktische Zwecke wird diese Näherung ²²/₇ (~3.143) heute noch verwendet. Aus diesen beiden Aussagen folgert man, dass sich der Flächeninhalt eines Kreises zum Quadrat seines Durchmessers nahezu wie ¹¹/₁₄ verhält. Euklid war bereits bekannt, dass sich der Flächeninhalt eines Kreises proportional zum Quadrat seines Durchmessers verhält.^[11] Archimedes gibt hier eine gute Näherung der Proportionalitätskonstante an.

In einer weiteren Arbeit Über Spiralen^[10] beschreibt Archimedes die Konstruktion der später nach ihm benannten archimedischen Spirale. Mit dieser Konstruktion war es Archimedes möglich, den Umfang eines Kreises auf einer Geraden abzutragen. Auf diese Weise konnte nun der Flächeninhalt eines Kreises exakt bestimmt werden. Jedoch kann diese Spirale nicht mit Zirkel und Lineal konstruiert werden.^[12]

Apollonios von Perge lebte zirka 200 Jahre vor Christus. In seiner Kegelschnittlehre Konika fasste er unter anderem die Ellipse und den Kreis als Schnitte eines geraden Kreiskegels auf – genauso wie es heute noch in der algebraischen Geometrie definiert wird. Seine Erkenntnisse gehen auf seine Vorgänger Euklid und Aristaios (um 330 v. Chr.) zurück, deren verfasste Abhandlungen über Kegelschnitte jedoch nicht mehr überliefert sind.^[13]

Nach Apollonios ist weiterhin das apollonische Problem benannt, zu drei gegebenen Kreisen mit den euklidischen Werkzeugen Lineal und Zirkel die Kreise zu konstruieren, die die gegebenen berühren. Jedoch im Vergleich zu Euklids Elementen, die auch im Mittelalter die Grundlage der Geometrie bildeten, fanden die Werke von Apollonios zunächst nur im islamischen Bereich Beachtung. In Westeuropa erlangten seine Bücher erst im 17. Jahrhundert größere Bedeutung, als Johannes Kepler die Ellipse als die wahre Bahn eines Planeten um die Sonne erkannte.^[14]

  Renaissance

In der Wissenschaftsgeschichte nennt man den Zeitraum zwischen 1400 n. Chr. und 1630 n. Chr. üblicherweise Renaissance, auch wenn der zeitliche Abschnitt nicht mit der Periodisierung etwa der Kunstgeschichte übereinstimmt. In dieser Zeit fanden Euklids Elemente wieder mehr Beachtung. Sie gehörten zu den ersten gedruckten Büchern und wurden in den darauffolgenden Jahrhunderten in vielen verschiedenen Ausgaben verlegt. Erhard Ratdolt stellte 1482 in Venedig die erste gedruckte Ausgabe der Elemente her. Eine der bedeutendsten Ausgaben von Euklids Elementen wurde von dem Jesuiten Christoph Clavius herausgegeben. Er fügte den eigentlichen Texten Euklids neben den spätantiken Büchern XIV und XV noch ein sechzehntes Buch und weitere umfangreiche Ergänzungen hinzu. Beispielsweise ergänzte er eine Konstruktion der gemeinsamen Tangenten zweier Kreise.^[15]

  19. Jahrhundert

Nach Vorleistungen von Leonard Euler, der die eulersche Identität aufstellte, Johann Heinrich Lambert und Charles Hermite konnte Ferdinand von Lindemann 1882 beweisen, dass die Zahl π transzendent ist. Das heißt, es gibt keine Polynomfunktion mit rationalen Koeffizienten, für die π eine Nullstelle ist. Da jedoch schon im 17. Jahrhundert gezeigt wurde, dass die Kreiszahl π eine Nullstelle einer solchen Polynomfunktion sein müsse, damit die Quadratur des Kreises mit Zirkel und Lineal funktioniere, wurde somit zugleich bewiesen, dass es kein solches Verfahren geben kann.^[16]

  Gleichungen

In der analytischen Geometrie werden geometrische Objekte mit Hilfe von Gleichungen beschrieben. Punkte in der Ebene werden dazu meist durch ihre kartesischen Koordinaten dargestellt und ein Kreis ist dann die Menge aller Punkte, deren Koordinaten die jeweilige Gleichung erfüllen.

  Koordinatengleichung

Der euklidische Abstand eines Punktes vom Punkt berechnet sich als

Durch Quadrieren der definierenden Gleichung ergibt sich die Koordinatengleichung

für die Punkte auf dem Kreis mit Mittelpunkt und Radius . Ein wichtiger Spezialfall ist die Koordinatengleichung des Einheitskreises

  Funktionsgleichung

Da der Kreis kein Funktionsgraph ist, lässt er sich auch nicht durch eine Funktionsgleichung darstellen. Behelfsweise kann ein Paar von Funktionsgleichungen

verwendet werden. Für den Einheitskreis vereinfacht sich dieses zu

  Parameterdarstellung

Eine andere Möglichkeit, einen Kreis durch Koordinaten zu beschreiben, bietet die Parameterdarstellung (siehe auch Polarkoordinaten):

Hier werden die Koordinaten und durch den Parameter ausgedrückt, der alle Werte mit annehmen kann.

Wendet man auch diese Gleichungen speziell auf den Einheitskreis an, so erhält man:

  Komplexe Darstellung

In der komplexen Zahlenebene lässt sich der Kreis um mit Radius durch die Gleichung

darstellen. Mit Hilfe der komplexen Exponentialfunktion erhält man die Parameterdarstellung

.

  Kreisberechnung

  Kreiszahl

Da alle Kreise ähnlich sind, ist das Verhältnis von Kreisumfang und Kreisdurchmesser für alle Kreise konstant. Der Zahlenwert dieses Verhältnisses wird in der Elementargeometrie als Definition für die Kreiszahl verwendet. Es handelt sich hierbei um eine transzendente Zahl, bei der sich außerdem gezeigt hat, dass sie in vielen Bereichen der Höheren Mathematik eine herausragende Bedeutung besitzt.

  Umfang

Im Rahmen der Elementargeometrie ist das Verhältnis von Kreisumfang zu dessen Durchmesser , und zwar für beliebige Kreise. Somit gilt

Mit ist der Radius des Kreises gemeint.

  Kreisfläche

Der Flächeninhalt der Kreisfläche (lat. area: Fläche) ist proportional zum Quadrat des Radius bzw. des Durchmessers des Kreises. Man bezeichnet ihn auch als Kreisinhalt.

Um die Formel für den Kreisinhalt zu erhalten, sind Grenzwert-Betrachtungen unerlässlich. Recht anschaulich ergibt sich eine solche aus der nebenstehenden Zeichnung:

Die Kreisfläche ist zerlegungsgleich mit der Fläche der rechten Figur. Diese nähert sich – bei feiner werdender Sektoreinteilung – einem Rechteck an mit der Länge und der Breite . Die Flächenformel ist somit

Die Flächenformel kann zum Beispiel durch Integrieren der Kreisgleichung oder mit Hilfe der unten beschriebenen Annäherung durch regelmäßige Vielecke bewiesen werden.

  Durchmesser

Der Durchmesser eines Kreises mit Flächeninhalt und mit Radius lässt sich durch

berechnen.

  Krümmung

Eine im Vergleich zu den bis jetzt beschriebenen Größen weniger elementare Eigenschaft des Kreises ist die Krümmung. Zur präzisen Definition der Krümmung werden Begriffe aus der Analysis benötigt, sie lässt sich jedoch aufgrund der Symmetrieeigenschaften des Kreises einfach berechnen. Anschaulich gibt die Krümmung in jedem Punkt an, wie stark der Kreis in der unmittelbaren Umgebung des Punktes von einer Geraden abweicht. Die Krümmung des Kreises im Punkt lässt sich durch

berechnen, wobei wieder der Radius des Kreises ist. Im Gegensatz zu anderen mathematischen Kurven hat der Kreis in jedem Punkt die gleiche Krümmung. Außer dem Kreis hat nur noch die Gerade eine konstante Krümmung . Bei allen anderen Kurven ist die Krümmung vom Punkt abhängig.

  Weitere Formeln

In den folgenden Formeln bezeichnet den Sektorwinkel im Bogenmaß. Bezeichnet den Winkel im Gradmaß, so gilt die Umrechnung .

Formeln zum Kreis
Fläche eines Kreisringes
Länge eines Kreisbogens
Fläche Kreissektor
Fläche eines Kreissegments
Länge Kreissehne
Höhe (Kreissegment)

  Näherungen für den Flächeninhalt

Da die Kreiszahl eine transzendente Zahl ist, gibt es kein Konstruktionsverfahren mit Zirkel und Lineal, mit dem man den Flächeninhalt exakt bestimmen kann. Außerdem sind transzendente Zahlen auch irrational, und daher hat auch keine endliche Dezimalbruchentwicklung, weshalb der Kreisflächeninhalt bei rationalem Radius auch keine endliche Dezimalbruchentwicklung besitzt. Aus diesen Gründen wurden bis heute unterschiedliche Näherungsverfahren für den Flächeninhalt und somit auch den Umfang eines Kreises entwickelt. Manche der Näherungsverfahren, wie beispielsweise das im Abschnitt Annäherung durch Vielecke erläuterte Verfahren, können durch mehrfache Wiederholung ein beliebig genaues Ergebnis liefern. Könnten also solche Verfahren unendlich oft wiederholt werden, so würden sie das exakte Ergebnis liefern.

  Annäherung durch Quadrate

Ein Kreis mit Radius wird mit einem Quadrat der Seitenlänge umschrieben. Ihm wird weiter ein Quadrat mit der Diagonalen einbeschrieben. Der Flächeninhalt des äußeren Quadrates ist , der des inneren nach der Dreiecksflächenformel und der Mittelwert ist somit . Mit dieser Näherung wird die Kreisfläche mit einem relativen Fehler kleiner als 5% genau bestimmt.

  Auszählen in einem Raster

Die Kreisfläche lässt sich annähernd bestimmen, indem man ihr viele kleine Quadrate unterlegt (z. B. mit Millimeterpapier). Zählt man alle Quadrate, die vollständig innerhalb des Kreises liegen, so erhält man einen etwas zu niedrigen Wert für die Fläche, zählt man auch alle Quadrate mit, die den Kreis lediglich schneiden, so ist der Wert zu groß. Der Mittelwert beider Ergebnisse ergibt eine Näherung für den Flächeninhalt des Kreises, deren Güte mit der Feinheit des Quadratrasters steigt.

  Annäherung durch Vielecke

Bei einer anderen Möglichkeit zur Kreisflächenbestimmung ist in den Kreis ein regelmäßiges Sechseck einzuzeichnen, dessen Ecken auf dem Kreis liegen. Werden nun die Seitenmitten vom Mittelpunkt aus auf den Kreis projiziert und diese neuen Punkte mit den alten Ecken verbunden, so entsteht ein regelmäßiges Zwölfeck. Wird dieser Vorgang wiederholt, entstehen nacheinander ein 24-Eck, ein 48-Eck und so fort.

In jedem Sechseck sind die Seiten gleich lang wie der Umkreisradius. Die Seiten der folgenden Vielecke ergeben sich mit Hilfe des Satzes von Pythagoras jeweils aus den Seiten der vorhergehenden. Aus den Seiten lassen sich die Flächen der Vielecke durch Dreiecksflächenberechnung exakt bestimmen. Sie sind alle etwas kleiner als die Kreisfläche, der sie sich bei steigender Eckenzahl jedoch annähern.

Entsprechend kann man mit einem Sechseck verfahren, das von außen an den Kreis gezeichnet ist, dessen Seitenmitten also auf ihm liegen. Man erhält eine fallende Folge von Flächenmaßen, deren Grenzwert wiederum die Kreisfläche ist.

  Geometrische Sätze und Begriffe rund um den Kreis

  Symmetrie und Abbildungseigenschaften

Der Kreis ist eine geometrische Figur von sehr hoher Symmetrie. Jede Gerade durch seinen Mittelpunkt ist eine Symmetrieachse. Zudem ist der Kreis rotationssymmetrisch, d. h., jede Drehung um den Mittelpunkt bildet den Kreis auf sich selbst ab. In der Gruppentheorie werden die genannten Symmetrieeigenschaften des Kreises durch seine Symmetriegruppe charakterisiert. Formal ergibt sich dafür die orthogonale Gruppe , das ist die Gruppe der orthogonalen -Matrizen.

Alle Kreise mit dem gleichen Radius sind zueinander kongruent, lassen sich also durch Parallelverschiebungen aufeinander abbilden. Zwei beliebige Kreise sind zueinander ähnlich. Sie lassen sich stets durch eine zentrische Streckung und eine Parallelverschiebung aufeinander abbilden.

  Kreiswinkel und Winkelsätze

Eine Kreissehne mit Endpunkten A und B teilt einen gegebenen Kreis in zwei Kreisbögen. Ein Winkel mit Scheitel C auf einem der Kreisbögen wird Umfangswinkel oder Peripheriewinkel genannt. Der Winkel mit Scheitel im Mittelpunkt M heißt Mittelpunktswinkel oder Zentriwinkel.

Im Spezialfall, dass die Sehne den Mittelpunkt enthält, also ein Durchmesser des Kreises ist, ist der Mittelpunktswinkel ein gestreckter Winkel mit 180°. In dieser Situation gilt eine grundlegende Aussage der Kreisgeometrie, der Satz von Thales: Er besagt, dass Umfangswinkel über einem Durchmesser stets rechte Winkel sind, also 90° betragen. Der Kreis um das rechtwinklige Dreieck wird in dieser Situation auch Thaleskreis genannt.

Auch im Fall einer beliebigen Kreissehne sind alle Umfangswinkel, die auf dem gleichen Kreisbogen liegen, gleich groß. Diese Aussage wird auch Umfangswinkelsatz genannt. Der Kreisbogen, auf dem die Scheitel der Umfangswinkel liegen, heißt Fasskreisbogen. Liegen Umfangswinkel und Zentriwinkel auf der gleichen Seite der Sehne, dann ist der Zentriwinkel doppelt so groß wie der Umfangswinkel (Kreiswinkelsatz). Zwei Umfangswinkel, die auf gegenüberliegenden Seiten der Sehne liegen, ergänzen sich zu 180°.

Der Umfangswinkel ist genauso groß wie der spitze Sehnentangentenwinkel zwischen der Sehne und der durch einen ihrer Endpunkte verlaufenden Tangente (Sehnentangentenwinkelsatz).

  Sätze über Sehnen, Sekanten und Tangenten

Für Kreise gilt der Sehnensatz, der besagt: Schneiden zwei Sehnen [AC] und [BD] einander in einem Punkt S, so gilt

d. h., die Produkte der jeweiligen Sehnenabschnitte sind gleich.

Zwei Sehnen eines Kreises, die sich nicht schneiden, können verlängert werden zu Sekanten, die entweder parallel sind oder sich in einem Punkt S außerhalb der Kreises schneiden. Ist letzteres der Fall, so gilt analog zum Sehnensatz der Sekantensatz

Im Fall einer Sekante, die den Kreis in den Punkte A und C schneidet, und einer Tangente, die den Kreis im Punkt B berührt, gilt der Sekanten-Tangenten-Satz: Ist S der Schnittpunkt von Sekante und Tangente, so folgt

  Umkreise und Inkreise

Sind A, B, C drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, also ein nicht ausgeartetes Dreieck bilden, dann existiert ein eindeutig bestimmter Kreis durch diese Punkte, nämlich der Umkreis des Dreiecks ABC. Der Mittelpunkt des Umkreises ist der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten des Dreiecks. Ebenso kann jedem Dreieck ein eindeutig bestimmter Kreis einbeschrieben werden, der die drei Seiten berührt, d. h., die Dreiecksseiten bilden Tangenten des Kreises. Dieser Kreis wird Inkreis des Dreiecks genannt. Sein Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden.

In der Elementargeometrie werden noch weitere Kreise am Dreieck betrachtet: Die Ankreise liegen außerhalb des Dreiecks und berühren eine Seite und die Verlängerungen der beiden anderen Seiten. Ein weiterer interessanter Kreis am Dreieck ist der Feuerbachkreis, benannt nach Karl Wilhelm Feuerbach. Auf ihm liegen die drei Seitenmittelpunkte und die drei Fußpunkte der Höhen. Da auf ihm außerdem die drei Mittelpunkte der Strecken zwischen dem Höhenschnittpunkt und den Ecken des Dreiecks liegen, wird der Feuerbachkreis auch Neunpunktekreis genannt. Sein Mittelpunkt liegt wie der Schwerpunkt, der Umkreismittelpunkt und der Höhenschnittpunkt auf der eulerschen Geraden.

Im Gegensatz zu Dreiecken besitzen Polygone mit mehr als drei Ecken im Allgemeinen keinen Umkreis oder Inkreis. Für regelmäßige Vielecke existieren beide allerdings stets. Ein Viereck, das einen Umkreis besitzt, wird Sehnenviereck genannt. Ein konvexes Viereck ist genau dann ein Sehnenviereck, wenn sich gegenüberliegende Winkel zu 180° ergänzen. Ein Viereck, das einen Inkreis besitzt, wird Tangentenviereck genannt. Ein konvexes Viereck ist genau dann ein Tangentenviereck, wenn die Summe der Seitenlängen zweier gegenüberliegender Seiten gleich der Summe der beiden anderen Seitenlängen ist.

  Kreisspiegelungen und Möbiustransformationen

Die Kreisspiegelung, auch Inversion genannt, ist eine spezielle Abbildung der ebenen Geometrie, die eine „Spiegelung“ der euklidischen Ebene an einem gegebenen Kreis mit Mittelpunkt und Radius beschreibt. Ist ein gegebener Punkt, dann ist sein Bildpunkt dadurch bestimmt, dass er auf der Halbgeraden [MP liegt und sein Abstand von die Gleichung

erfüllt. Die Kreisspiegelung bildet das Innere des gegebenen Kreises auf sein Äußeres ab und umgekehrt. Alle Kreispunkte von werden auf sich selbst abgebildet. Kreisspiegelungen sind winkeltreu, orientierungsumkehrend und kreistreu. Letzteres bedeutet, dass verallgemeinerte Kreise – das sind Kreise und Geraden – wieder auf verallgemeinerte Kreise abgebildet werden.

Die Hintereinanderausführung zweier Kreisspiegelungen ergibt eine Möbiustransformation. Möbiustransformationen – eine weitere wichtige Klassen von Abbildungen der Ebene – sind daher ebenfalls winkeltreu und kreistreu, allerdings orientierungserhaltend.

Kreisspiegelungen und Möbiustransformationen lassen sich besonders übersichtlich mit Hilfe komplexer Zahlen darstellen: Bei einer Kreisspiegelung eines Punktes an dem Kreis lautet die Formel für den Bildpunkt

Für die Spiegelung am Einheitskreis gilt einfach .

Möbiustransformationen der komplexen Ebene werden durch gebrochen lineare Funktionen der Gestalt

mit und dargestellt.

  Konstruktionen mit Zirkel und Lineal

Ein klassisches Problem der Geometrie ist die Konstruktion geometrischer Objekte mit Zirkel und Lineal in endlich vielen Konstruktionsschritten aus einer gegebenen Punktemenge. In jedem Schritt dürfen dabei Geraden durch gegebene oder bereits konstruierte Punkte gezogen werden sowie Kreise um solche Punkte mit gegebenem oder bereits konstruiertem Radius gezogen werden. Die dadurch konstruierten Punkte ergeben sich als Schnittpunkte zweier Geraden, zweier Kreise oder einer Geraden mit einem Kreis. Naturgemäß spielen daher bei allen Konstruktionen mit Zirkel und Lineal Kreise eine wichtige Rolle.

Im Folgenden sollen exemplarisch einige Konstruktionen angesprochen werden, die im Zusammenhang mit der Geometrie von Kreisen von Bedeutung sind.

  Thaleskreis

Für die Konstruktion des Thaleskreises über einer gegebenen Strecke wird zunächst der Mittelpunkt dieser Strecke konstruiert, der auch der Mittelpunkt des Thaleskreises ist. Dazu werden um und Kreise mit dem gleichen Radius geschlagen, wobei so groß gewählt werden muss, dass die beiden Kreise sich in zwei Punkten und schneiden. Das ist z. B. für der Fall. Die Gerade schneidet dann im Mittelpunkt . Der gesuchte Thaleskreis ist nun der Kreis mit Mittelpunkt und Radius .

  Konstruktion von Tangenten

Gegeben sei ein Punkt außerhalb eines Kreises mit Mittelpunkt und es sollen die beiden Tangenten an den Kreis konstruiert werden, die durch den Punkt laufen. Diese elementare Konstruktionsaufgabe lässt sich einfach mit Hilfe des Satzes von Thales lösen: Man konstruiert den Thaleskreis mit der Strecke als Durchmesser. Die Schnittpunkte dieses Kreises mit sind dann die Berührpunkte der gesuchten Tangenten.

  Flächenverdoppelung

Die Fläche eines Kreises lässt sich geometrisch verdoppeln, indem ein Quadrat gezeichnet wird, dessen eine Ecke im Kreismittelpunkt liegt, wobei zwei weitere Ecken auf dem Kreisbogen liegen. Durch die vierte Ecke wird ein Kreis um den alten Mittelpunkt gezogen. Dieses Verfahren wurde im 13. Jahrhundert im Bauhüttenbuch des Villard de Honnecourt dargestellt. Dieses Verfahren funktioniert, da (nach dem Satz des Pythagoras)

und damit der Flächeninhalt des großen Kreises

genau doppelt so groß ist, wie der des kleinen Kreises.

  Kreisteilung

Ein weiteres bereits in der Antike untersuchtes Konstruktionsproblem ist die Kreisteilung. Hierbei soll zu einer gegebenen natürlichen Zahl einem gegebenen Kreis ein regelmäßiges -Eck einbeschrieben werden. Die auf dem Kreis gelegenen Eckpunkte teilen diesen dann in gleich lange Kreisbögen. Diese Konstruktion ist nicht für alle möglich: Mit Hilfe der algebraischen Theorie der Körpererweiterungen lässt sich zeigen, dass sie genau dann durchführbar ist, wenn eine Primfaktorzerlegung der Form

hat mit und paarweise verschiedenen fermatsche Primzahlen , also Primzahlen der Form . Damit ist die Konstruktion also beispielsweise für möglich, jedoch nicht für z. B. . Die Konstruktion des regelmäßigen Siebzehnecks gelang Carl Friedrich Gauß im Jahr 1796.

  Kreisberechnung in der Analysis

In der modernen Analysis werden die trigonometrischen Funktionen und die Kreiszahl üblicherweise zunächst ohne Rückgriff auf die elementargeometrische Anschauung und auf spezielle Eigenschaften des Kreises definiert. So lassen sich etwa Sinus und Kosinus über ihre Darstellung als Potenzreihe definieren. Eine gängige Definition für den Wert von ist dann das Doppelte der kleinsten positiven Nullstelle des Kosinus.

  Der Kreis als Kurve

In der Differentialgeometrie, einem Teilgebiet der Analysis, das geometrische Formen mit Hilfe der Differential- und Integralrechnung untersucht, werden Kreise als spezielle Kurven angesehen. Diese Kurven lassen sich mit Hilfe der oben genannten Parameterdarstellung als Weg beschreiben. Legt man den Koordinatenursprung in den Mittelpunkt eines Kreises mit Radius , dann ist durch die Funktion mit

eine solche Parametrisierung gegeben. Mit Hilfe der trigonometrischen Formel folgt für die euklidische Norm der parametrisierten Punkte , das heißt, sie liegen tatsächlich auf einem Kreis mit Radius . Da Sinus und Kosinus -periodische Funktionen sind, entspricht das Definitionsintervall von genau einem Kreisumlauf.

  Kreisumfang

Der Umfang des Kreises ergibt sich als Länge des Weges durch Integration zu

Analog gilt für die Länge des durch gegebenen Teilkreisbogens . Dadurch erhält man als Parametrisierung des Kreises nach der Bogenlänge

mit .

  Flächeninhalt

Der Flächeninhalt der Kreisscheibe , also das Maß der Menge , kann als (zweidimensionales) Integral

dargestellt werden. Um die etwas mühsame Berechnung dieses Integrals in kartesischen Koordinaten zu umgehen, ist es günstig, eine Transformation , auf Polarkoordinaten zu verwenden. Damit ergibt sich

Eine andere Möglichkeit zur Berechnung der Kreisfläche besteht darin, die Sektorformel von Leibniz auf die Parameterdarstellung des Kreisrandes anzuwenden. Mit , erhält man damit ebenfalls

  Krümmung

Für die oben hergeleitete Parametrisierung des Kreises nach seiner Bogenlänge ergibt sich

Für die Krümmung des Kreises erhält man daher

Die Krümmung des Kreises ist also konstant und der Krümmungsradius ist gerade sein Radius.

In der Differentialgeometrie wird gezeigt, dass eine ebene Kurve bis auf Kongruenz durch ihre Krümmung eindeutig bestimmt ist. Die einzigen ebenen Kurven mit konstanter positiver Krümmung sind daher Kreisbögen. Im Grenzfall, dass die Krümmung konstant gleich 0 ist, ergeben sich Geradenstücke.

  Isoperimetrisches Problem

Unter allen Flächen der euklidischen Ebene mit gegebenem Umfang besitzt die Kreisfläche den größten Flächeninhalt. Umgekehrt hat die Kreisfläche bei gegebenem Flächeninhalt den kleinsten Umfang. In der Ebene ist der Kreis daher die eindeutig bestimmte Lösung des sog. isoperimetrischen Problems. Obwohl diese anschaulich einleuchtende Tatsache schon den Mathematikern im antiken Griechenland bekannt war, wurden formale Beweise erst im 19. Jahrhundert erbracht. Da eine Kurve gesucht ist, die ein Funktional maximiert, nämlich den umschlossenen Flächeninhalt, handelt es sich dabei aus moderner Sicht um ein Problem der Variationsrechnung. Ein gängiger Beweis für stückweise stetige Kurven verwendet die Theorie der Fourierreihen.^[17]

  Verallgemeinerungen und verwandte Themen

  Sphäre

Es ist möglich, den Kreis als Objekt der Ebene in den dreidimensionalen Raum zu verallgemeinern. Dann erhält man die Hülle einer Kugel. Dieses Objekt wird in der Mathematik Sphäre oder genauer 2-Sphäre genannt. Analog lässt sich die 2-Sphäre auf n Dimensionen zur n-Sphäre verallgemeinern. In diesem Kontext nennt man den Kreis auch 1-Sphäre.

  Kegelschnitte

In der ebenen Geometrie kann der Kreis als spezielle Ellipse aufgefasst werden, bei dem die beiden Brennpunkte mit dem Kreismittelpunkt zusammenfallen. Beide Halbachsen sind dabei gleich dem Kreisradius. Der Kreis ist daher ein spezieller Kegelschnitt: Er entsteht als Schnitt eines geraden Kreiskegels mit einer Ebene senkrecht zu Kegelachse. Er ist damit ein Spezialfall einer zweidimensionalen Quadrik.

Hierbei ergibt sich eine weitere, äquivalente Definition für Kreise (Kreis des Apollonios): Ein Kreis ist die Menge aller Punkte in der Ebene, für die der Quotient ihrer Abstände von zwei gegebenen Punkten konstant ist. Die beiden Punkte liegen auf einem von ausgehenden Strahl im Abstand bzw. und wechselseitig auf der Polaren des jeweils anderen Punktes als Pol. Ähnliche Definitionen gibt es auch für die Ellipse (konstante Summe), Hyperbel (konstante Differenz) und die Cassinische Kurve (konstantes Produkt der Abstände).

  Kreise in der synthetischen Geometrie

In der synthetischen Geometrie können Kreise in bestimmten affinen Ebenen (zum Beispiel präeuklidischen Ebenen) ohne einen Abstandsbegriff allein durch eine Orthogonalitätsrelation definiert werden, indem der Satz vom Umkreis (Mittellotensatz) zur Definition des Kreises verwendet wird. Dadurch kann dann ein schwächerer Begriff der „Abstands-“ oder „Längengleichheit“ von Punktepaaren in solchen Ebenen eingeführt werden. → Siehe dazu Präeuklidische Ebene.

  Zeichnung im digitalen Raster

Für das Zeichnen von angenäherten Kreisen in einem Punktraster wurden mehrere Algorithmen entwickelt, siehe dazu Rasterung von Kreisen. Diese Verfahren sind insbesondere für die Computergrafik von Belang. Für die zweifarbige Rasterung von Kreisen reichen Grundrechenarten aus.

  Siehe auch

• Klein- und Großkreis
• Kreisgruppe
• Kreistreue
• Zindlerkurve

  Literatur

• Ilka Agricola, Thomas Friedrich: Elementargeometrie. 3. Auflage. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2011, ISBN 978-3-8348-1385-5.
• Christian Bär: Elementare Differentialgeometrie. 2. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2010, ISBN 978-3-11-022458-0.
• Hartmut Wellstein, Peter Kirsche: Elementargeometrie. Eine aufgabenorientierte Einführung. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2009, ISBN 978-3-8348-0856-1.

  Weblinks

• „Mathematische Basteleien“ zum Kreis
• Eric W. Weisstein: Kreis. In: MathWorld. (englisch)

  Einzelnachweise

1. ↑ Ilja Nikolajewitsch Bronštein: Taschenbuch der Mathematik. Verlag Harri Deutsch, 5. Auflage, Thun und Frankfurt 2001, S. 143.
2. ↑ Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3. Auflage. Springer, Berlin Heidelberg New York 2007, ISBN 978-3-540-49327-3, S 143.
3. ↑ Scriba, Schreiber: 5000 Jahre Geometrie. 2005, S. 32–33.
4. ↑ Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen (Vom Zählstein zum Computer). Springer, Berlin, Heidelberg, New York, ISBN 3-540-67924-3, S. 13.
5. ↑ Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen (Vom Zählstein zum Computer). Springer, Berlin, Heidelberg, New York, ISBN 3-540-67924-3, S. 18.
6. ↑ Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen (Vom Zählstein zum Computer). Springer, Berlin, Heidelberg, New York, ISBN 3-540-67924-3, S. 19–20.
7. ↑ Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen (Vom Zählstein zum Computer). Springer, Berlin, Heidelberg, New York, ISBN 3-540-67924-3, S. 31–33.
8. ↑ Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. Springer, Berlin, Heidelberg, 3. neu bearbeitete und erweiterte Auflage 2007, Korrigierter Nachdruck 2009, ISBN 978-3-540-49327-3, S. 145.
9. ↑ Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen (Vom Zählstein zum Computer). Springer, Berlin, Heidelberg, New York, ISBN 3-540-67924-3, S. 49–50.
10. ↑ ^{a b} In englischer Übersetzung von Thomas Little Heath: The works of Archimedes, ed. in modern notation, with introductory chapters. University press, Cambridge 1897. Kreismessung: S.91ff., Über Spiralen: S.151ff. (Digitalisat)
11. ↑ Euklids Elemente XII, § 2.
12. ↑ s. Gericke: Antike und Orient, S.120ff.
13. ↑ Scriba, Schreiber: 5000 Jahre Geometrie. 2005, S. 40–42.
14. ↑ Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen (Vom Zählstein zum Computer). Springer, Berlin, Heidelberg, New York, ISBN 3-540-67924-3, S. 72–73.
15. ↑ Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen (Vom Zählstein zum Computer). Springer, Berlin, Heidelberg, New York, ISBN 3-540-67924-3, S. 247–248.
16. ↑ Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen (Vom Zählstein zum Computer). Springer, Berlin, Heidelberg, New York, ISBN 3-540-67924-3, S. 405–406.
17. ↑ Hurwitz Quelques applications geometriques des series de Fourier, Annales de l’Ecole Normale, Bd. 19, 1902, S. 357–408, der Beweis findet sich zum Beispiel in Blaschke Vorlesungen über Differentialgeometrie, Bd.1, Springer, 1924, S.45