Relacja (matematyka)
Z Wikipedia
Ten artykuł wymaga dopracowania zgodnie z zaleceniami edycyjnymi. Należy w nim poprawić/wykonać działania: coś o relacjach między wieloma zbiorami, choćby to, że się ich nie rozpatruje :). Po wyeliminowaniu niedoskonałości prosimy usunąć szablon {{Dopracować}} z kodu tego artykułu. |
Spis treści |
Relacja – dowolny podzbiór iloczynu kartezjańskiego zbiorów. Intuicyjnie, oznacza pewien związek pomiędzy elementami tych zbiorów.
Intuicje
Językiem relacji można opisywać wiele zjawisk życia codziennego. Przyjrzyjmy się społeczności wszystkich Polaków (relacja na jednym zbiorze) i wprowadźmy pewne zależności.
Niech będzie relacją między dwoma członkami społeczności (relacja dwuargumentowa) określoną następująco:
- jest w relacji z wtedy i tylko wtedy, gdy posiada samochód tej samej marki co .
Relacja jest:
- zwrotna, ponieważ osoba ma samochód tej samej marki co ona sama,
- symetryczna, gdyż jeśli ma samochód tej samej marki co , to oczywiście ma samochód tej samej marki co .
Relacja ta pozwala wyróżnić w społeczności grupy osób (podzbiory): posiadaczy Roverów, Fiatów, Syren, itp. Grupy te nie muszą być rozłączne, ta sama osoba może posiadać kilka samochodów różnych marek i wówczas należy do kilku odpowiednich grup. Pozostaje ona wówczas w relacji z osobami, które mogą nie być ze sobą w relacji , a więc relacja nie jest przechodnia.
Gdyby jednak każdy członek społeczności posiadał samochody co najwyżej jednej marki, to relacja byłaby przechodnia i wobec tego byłaby relacją równoważności, czyli wprowadzałaby podział społeczności ze względu na markę samochodu (podzieliłaby ją na tzw. klasy abstrakcji).
Wprowadźmy inną relację na :
- osoba jest w relacji (relacja jednoargumentowa), jeśli posiada Ferrari.
Relacja ta wyróżnia podzbiór Polaków będących posiadaczami Ferrari.
Rozważmy zbiór kobiet oraz mężczyzn będących członkami społeczności (podział ten można otrzymać dzięki zastosowaniu odpowiedniej relacji równoważności) oraz zbiór wszystkich marek samochodów. W iloczynie kartezjańskim można wprowadzić relację (trójargumentową) taką, że:
- trójka jest w relacji wtedy i tylko wtedy, gdy jest żoną i małżeństwo to posiada Fiata.
Wówczas żadna samotna osoba będąca posiadaczem Fiata nie ma szans "dostać się" do relacji , dopóki nie znajdzie drugiej "połówki", małżeństwo natomiast – dopóki nie wejdzie w posiadanie Fiata.
Definicja
Niech dane będą dowolne zbiory . Relacją n-członową (n-argumentową, n-arną) nazywamy dowolny podzbiór ich iloczynu kartezjańskiego
- .
Relacje jednego zbioru
Szczególnym przypadkiem są relacje zawarte w -tej potędze kartezjańskiej jednego zbioru , czyli relacje typu
Jeżeli przez [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 2 ] oznaczymy zbiór wszystkich relacji n-członowych w zbiorze , to moc tego zbioru dana jest wzorem
- [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 2 ]
Nad takim relacjami skupimy się w dalszej części artykułu.
Relacje zeroargumentowe
Pod względem formalnym interesujący jest przypadek tzw. relacji zeroargumentowych, które zawarte są w zbiorze:
Istnieją tylko dwie takie relacje, to jest oraz . Są one użyteczne w rozważaniach teoretycznych, ale trudno je zrozumieć intuicyjnie.
Relacje jednoargumentowe
Częściej używanymi relacjami są relacje jednoargumentowe (jednoczłonowe, unarne), czyli podzbiory zbioru . Zwykle rola takiej relacji sprowadza się do wskazania pewnego podzbioru lub elementu należącego do zbioru .
Przykłady
W zbiorze liczb rzeczywistych relacjami jednoargumentowymi są:
- zbiór liczb wymiernych ,
- zbiór liczb parzystych,
- przedział .
Relacje dwuargumentowe
W praktyce najpopularniejsze i najszerzej stosowane są relacje dwuargumentowe (dwuczłonowe, binarne), zwykle nazywane po prostu relacjami.
Relacje te są zbiorami par uporządkowanych elementów postaci . Zgodnie z tradycją zamiast pisze się zazwyczaj i czyta „”.
Zbiór wszystkich tych elementów , które występują jako poprzedniki w parach należących do pewnej relacji (tzn. występują na pierwszych miejscach w parach) nazywamy dziedziną , a zbiór następników (elementów na drugim miejscu) – obrazem tej relacji.
Przykłady
Typowymi przykładami relacji binarnych są:
- relacja pusta równa zbiorowi pustemu,
- relacja pełna, równa oraz
- przekątna, czyli zbiór par .
W zbiorze liczb rzeczywistych :
- łatwo zauważyć, że ich interpretacją są figury płaskie. W tym przypadku relację pełną przedstawia cała płaszczyzna, przekątną natomiast prosta .
- najczęściej wykorzystywanymi relacjami binarnymi są:
- relacja równości będąca relacją równoważności na tym zbiorze,
- relacja mniejsze-równe będąca relacją porządku liniowego na .
W zbiorze liczb naturalnych :
- relacja podzielności, tj. zbiór wszystkich par liczb naturalnych takich, że dla pewnej liczby naturalnej . Para jest elementem tej relacji wtedy i tylko wtedy, gdy liczba dzieli liczbę . Dlatego
- jest elementem relacji podzielności,
- nie należy do tej relacji.
Zobacz też
Ważniejsze relacje
własności
- relacja zwrotna,
- relacja symetryczna,
- relacja antysymetryczna,
- relacja przeciwsymetryczna,
- relacja równoważności,
- relacja przechodnia,
- relacja dobrze ufundowana,
- relacja słabo konfluentna,
- relacja silnie konfluentna,
- relacja spójna;
- relacja liniowo porządkująca zbiór
porządki
rodzaje
- relacja pusta,
- relacja pełna.bn:অন্বয়