Publicitad E▼
⇨ definición de matice (Wikipedia)
Publicidad ▼
⇨ Adjungovaná matice • BCG matice • Diagonalizovatelná matice • Diagonizovatelná matice • Diagonální matice • Evangelická Matice augšpurského vyznání v Rakousku • Generující matice • Hermitovsky sdružená matice • Hessova matice • Hodnost matice • Hřídelová matice KM • Inverzní matice • Jednotková matice • Kontrolní matice • Matice (rozcestník) • Matice cyrilometodějská • Matice opavská • Matice přechodu • Matice slezská • Matice svatohostýnská • Matice česká • Mikroregion Matice Slezská • Nulová matice • Náboženská matice • Náhodné matice • Nýtovací matice • Ortogonální matice • Pauliho matice • Pozitivně definitní matice • Pseudoinverze matice • Regulární matice • Rozšířená matice soustavy • Singulární matice • Spektrum matice • Totálně unimodulární matice • Transpozice matice • Vandermondova matice • Časopis Matice moravské • Čtvercová matice • Řídká matice
Publicidad ▼
Wikipedia
Matice je v matematice obdélníkové či čtvercové schéma čísel nebo nějakých matematických objektů – prvků matice (též elementů matice). Obsahuje obecně m řádků a n sloupců. Hovoříme pak o matici typu .
Část matematiky, která využívá matice, je označována jako maticový počet.
Matice se často využívají pro vyjádření obecné rotace vektorů, transformace vektorů od jedné báze k bázi jiné, k výpočtu soustav lineárních rovnic, či k vyjádření operátorů v kvantové mechanice.
Obsah |
Prvky matice jsou označeny indexy udávajícími řádek a sloupec, v nichž se prvek nalézá. Prvek v i-tém řádku a j-tém sloupci matice A se obvykle značí . Potom -tý řádek matice obsahuje vodorovnou m-tici prvků , kde a -tý sloupec matice obsahuje svislou -tici čísel , kde .
Např. a53 leží v pátém řádku a třetím sloupci. Indexy se píší buďto oba dole jako a53, nebo první nahoře a druhý dole jako a53, což má význam, jakmile je potřeba rozlišovat kovariantní a kontravariantní indexy, zejména operujeme-li s maticemi jako s tenzory. Tedy matici m krát n zapíšeme jako:
Pro zjednodušení se také používá zápisu
Potřebujeme-li zdůraznit počet řádků a sloupců, lze také použít zápis
Matice
je obdélníková matice velikosti 4×3. Prvek matice a23 nebo a23 je 7.
Matice představují nejjednodušší nástroj, jak popsat v souřadnicích lineární zobrazení z prostorů V do prostoru W, pokud máme na prostoru V zvolenou bázi a na prostoru W bázi . Matice zobrazení vytvoříme tak, že její i-tý sloupec bude zápis souřadnic obrazu vektoru zapsaného v bázi .
Matice jsou užitečný nástroj na spočtení souřadnic vektoru v nějaké bázi, pokud známe jeho souřadnice v jiné bázi. Pokud a jsou dvě báze, pro které platí , neboli
pak matice se nazývá matice přechodu od báze k bázi . Pro souřadnice pak platí
kde jsou souřadnice libovolného vektoru v bázi a jsou jeho souřadnice v bázi .
Duální báze k a (pokud je píšeme do sloupců) se transformují stejně jako souřadnice a souřadnice duálních vektorů v duálních bázích (pokud je píšeme do řádků) stejně jako původní bázové vektory.
Matice představují jednoduchý nástroj, jak popsat v souřadnicích bilineární zobrazení (například skalární součin) (obvykle nebo ), pokud máme na prostoru V zvolenou bázi a na prostoru W bázi . Matice zobrazení A vytvoříme tak, že , kde (.) je příslušná bilineární forma. Pak v souřadnicích platí .
Systém m rovnic o n neznámých se dá zapsat elegantně do matice jako
Řešení se nezmění, pokud budeme provádět následující úpravy:
Takovými operacemi je možno systém značně zjednodušit (viz Gaussova eliminace).
Pokud mám nějakou sadu vektorů zapsanou v souřadnicích, můžu tyto vektory (resp. jejich souřadnicové vyjádření) zapsat jako řádky pod sebe a vznikne matice. Lineární obal řádků matice se nezmění, pokud budu dělat následující úpravy:
Pokud vhodnými úpravami dokážu udělat někde nulový řádek, původní vektory jsou lineárně závislé (viz též Gaussova eliminace).
Obyčejná homogenní diferenciální rovnice s konstantními koeficienty, anebo systém rovnic s konstantními koeficienty, se dá přepsat na maticovou rovnici , kde je vektor neznámých a A je matice. Řešení je pak vektorový prostor generovaný sloupci matice
V matematice a fyzice:
Ve statistice:
V kvantové mechanice:
Operace s maticemi se v některých bodech odlišují od operací s čísly.
Výsledná matice je tedy stejného typu jako původní matice .
Prvky matice jsou určeny vztahem
Součet matic má smysl pouze pro matice stejného typu.
Prvky matice jsou určeny vztahem
Rozdíl matic a lze také chápat jako součet matice A a matice B vynásobené číslem -1. Rozdíl má tedy opět smysl pouze pro matice stejného typu.
kde prvky matice určuje výraz
přičemž prvky matice C jsou určeny jako
nebo
Násobení matic je také označováno jako maticové násobení.
Obvykle se předpokládá, že prvky matice jsou z nějakého okruhu nebo tělesa. Označme jej (obvykle nebo ). Množina všech čtvercových matic tvoří asociativní algebru, která se nazývá maticová algebra, značí se , , nebo a pod. Pro je nekomutativní a její centrum je izomorfní (je tvořeno násobky jedničkové matice). Je jednoduchá, t.j. nemá žádné netriviální oboustranné ideály. Navíc každá konečně rozměrná jednoduchá asociativní algebra (nad nějakým tělesem) je izomorfní maticové algebře. Každá volba báze -dimenzionálního prostoru nám dává izomorfizmus . Jediná irreducibilní reprezentace této asociativní algebry je její definující reprezentace na .
Matice je invertovatelná, právě když její determinant je nenulový (toto má smysl, i kdyby byly prvky matice z obecného komutativního okruhu, a analogické tvrzení lze zformulovat i v kvaternionových maticích).
Množina všech regulárních (t.j. invertovatelných) matic tvoří grupu, která se označuje . Pro je reduktivní. Její jednoduchá podgrupa je grupa matic s jedničkovým determinantem .
Hodnost matice se dá definovat jako počet lineárně nezávislých řádků (předpokládáme, že prvky matice jsou prvky nějakého tělesa). Platí, že počet lineárně nezávislých sloupců matice je stejný jako počet lineárně nezávislých řádků.
Prvky , leží na tzv. hlavní diagonále matice. Hlavní diagonála je tedy tvořena všemi prvky , kde .
Prvky , leží na tzv. vedlejší diagonále. Vedlejší diagonála je tedy tvořena všemi prvky , kde .
Pokud se hovoří o diagonále matice, je tím obvykle myšlena hlavní diagonála.
Matice se obvykle používají k zápisu lineárních zobrazení mezi vektorovými prostory. Předpokládejme, že matice přiřadí vektoru v, který má souřadnice (v nějaké bázi) vektor, který má (v nějaké bázi cílového prostoru) souřadnice (symbolicky Av=w).
Užíváme-li matice k operaci s vektory v Euklidovském prostoru, nebo kdykoliv se příslušný skalární součin chová stejně jako v Euklidovském prostoru a předpokládáme, že jediné změny souřadnicových systémů, které uvažujeme, jsou rotace a zrcadlení, pak není potřeba rozlišovat polohu indexů a řádkové a sloupcové vektory lze mezi sebou libovolně zaměňovat. Jakmile se však skalární součin chová jinak (např. Diracova notace v kvantové mechanice), anebo uvažujeme i jiné transformace souřadnic než rotace a zrcadlení, pak se při přechodu do jiných souřadnic typicky jinak transformují vektory jako duální vektory. Sloupce matice se chovají jako vektory, kdežto řádky matice jako duální vektory, neboli lineární formy. Ve fyzice se pak obvykle souřadnice vektorů píšou nahoru a souřadnice duálních vektorů dolů.
Tento koncept lze matematicky formalizovat, pokud řekneme, že matice je prvek prostoru zapsán v nějakých bazích prostorů . Protože ale , můžeme chápat matici jako tenzor typu (1,1) a u tensorů se píšou kovariantní složky dolů a kontravariantní nahoru. Pak se matice bude při přechodu k novým souřadnicím v prostorech V a W transformovat „správně“.
Matice ale nereprezentují jen lineární zobrazení mezi vektorovými prostory. Do matice se taky dá zapsat bilineární forma, která dvěma vektorům přiřadí číslo. Pak to odpovídá tensoru typu (0,2) a při přechodu do jiných souřadnic se transformuje jako tensor typu (0,2). V tomto případě bychom prvky matice značili () (oba indexy dolů).
Pokud však matice reprezentuje něco jiného (třeba systém lineárních rovnic, na který se nemusíme dívat jako na maticovou rovnici a nepotřebujeme vědět, jak se transformuje při změně souřadnic), pak nemá smysl horní a dolní indexy rozlišovat.
Přehled některých typů matic | ||
Nad | Nad | vlastnost |
hermitovská | symetrická | |
unitární | ortogonální | |
regulární (invertibilní) |
kde jsou diagonální prvky matice. Pokud pro všechny diagonální prvky diagonální matice platí , jedná se o jednotkovou matici , pro jejíž prvky platí
Podobně označujeme jako dolní trojúhelníkovou matici takovou matici, která má všechny prvky nad diagonálou nulové.
kde je jednotková matice.
Contenido de sensagent
computado en 0,031s