Definición y significado de число

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Число́ — абстракция, используемая для количественной характеристики объектов. Возникнув ещё в первобытном обществе из потребностей счёта, понятие числа изменялось и обогащалось и превратилось в важнейшее математическое понятие.

Основные виды чисел

Натуральные числа, получаемые при естественном счёте; множество натуральных чисел обозначается . Т.о. (иногда к множеству натуральных чисел также относят ноль, то есть ). Натуральные числа замкнуты относительно сложения и умножения (но не вычитания или деления). Натуральные числа коммутативны и ассоциативны относительно сложения и умножения, а умножение натуральных чисел дистрибутивно относительно сложения.

Целые числа получаемые объединением натуральных чисел с множеством отрицательных чисел и нулём, обозначаются . Целые числа замкнуты относительно сложения, вычитания и умножения (но не деления).

Рациональные числа — числа, представленные в виде дроби m/n (n≠0), где m — целое число, а n — натуральное число. Для рациональных чисел определены все четыре «классические» арифметические действия: сложение, вычитание, умножение и деление (кроме деления на ноль). Для обозначения рациональных чисел используется знак .

Действительные (вещественные) числа представляют собой расширение множества рациональных чисел, замкнутое относительно некоторых (важных для математического анализа) операций предельного перехода. Множество вещественных чисел обозначается . Его можно рассматривать как пополнение поля рациональных чисел при помощи нормы, являющейся обычной абсолютной величины. Кроме рациональных чисел, включает множество иррациональных чисел, не представимых в виде отношения целых. Кроме подразделения на рациональные и иррациональные, действительные числа также подразделяются на алгебраические и трансцендентные. При этом каждое трансцендентное число является иррациональным, каждое рациональное число — алгебраическим.

Комплексные числа , являющиеся расширением множества действительных чисел. Они могут быть записаны в виде , где i — т. н. мнимая единица, для которой выполняется равенство . Комплексные числа используются при решении задач квантовой механики, гидродинамики, теории упругости и пр.

Для перечисленных множеств чисел справедливо следующее выражение:

Обобщения чисел

Кватернионы представляющие собой разновидность гиперкомплексных чисел. Множество кватернионов обозначается . Кватернионы в отличие от комплексных чисел не коммутативны относительно умножения.

В свою очередь октавы , являющиеся расширением кватернионов, уже теряют свойство ассоциативности.

В отличие от октав, седенионы не обладают свойством альтернативности, но сохраняют свойство степенной ассоциативности.

Для этих множеств обобщённых чисел справедливо следующее выражение:

p-адические числа можно рассматривать как элементы поля, являющегося пополнением поля рациональных чисел при помощи т. н. p-адического нормирования, аналогично тому, как поле действительных чисел определяется как его пополненние при помощи обычной абсолютной величины.

Аде́ли определяются как бесконечные последовательности {a_∞,a₂,a₃,…a_p…}, где a_∞ — любое действительное число, а a_p — p-адическое, причём все a_p, кроме, может быть, конечного их числа, являются целыми p-адическими. Складываются и умножаются адели покомпонентно и образуют кольцо. Поле рациональных чисел вкладывается в это кольцо обычным образом r→{r, r,…r,…}. Обратимые элементы этого кольца образуют группу и называются иде́лями.

Практически важным обобщением числовой системы является интервальная арифметика‎.

Иногда числами ради удобства называют элементы поля: например при рассмотрении некоторого векторного пространства над этим полем.

Представление чисел в памяти компьютера

подробнее см. Прямой код, Дополнительный код (представление числа), Число с плавающей запятой

Для представления натурального числа в памяти компьютера, оно обычно переводится в двоичную систему счисления. Для представления отрицательных чисел используется т. н. дополнительный код числа, который получается путём прибавления единицы к инвертированному представлению модуля данного отрицательного числа в двоичной системе счисления.

Представление действительных чисел в памяти компьютера имеет некоторые ограничения связанные с используемой системой счисления, а также, ограниченностью объёма памяти выделяемого под числа. Действительные числа обычно представляются в виде чисел с плавающей запятой. При этом лишь некоторые из действительных чисел могут быть представлены в памяти компьютера точным значением, в то время как остальные числа представляются приближёнными значениями. В наиболее распространённом формате число с плавающей запятой представляется в виде последовательности битов, часть из которых кодирует собой мантиссу числа, другая часть — показатель степени, и ещё один бит используется для указания знака числа.

См. также

• Числа
• Числа с собственными именами
• Системы наименования чисел
• Обратное число
• Системы счисления

Литература

• А. А. Кириллов, Что такое число?, выпуск 4 серии «Современная математика для студентов», М., Физматлит, 1993.
• Л. С. Понтрягин, Обобщения чисел, серия «Математическая библиотечка» М., Наука, 1965.
• Л. Я. Жмудь. «Все есть число»? (К интерпретации «основной доктрины» пифагореизма) // Mathesis. Из истории античной науки и философии. М., 1991, с. 55-74.
• И. В. Карасев. Тайны квадрата Пифагора («Вначале было число»).

Ссылки

• vokrugsveta.ru Какое число самое большое?