definición y significado de 発散

発散

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この項目では、ベクトル解析における発散について記述しています。数列や点列の発散については「極限」をご覧ください。

ベクトル解析における発散（はっさん、divergence）とは、ベクトル場の各点における量の変化の傾向を記述するスカラー場のこと、あるいはそのスカラー場を与える微分作用素のことである。湧出（ゆうしゅつ、わきだし）あるいは湧出量ともいう。

例えば、三次元空間のベクトル場である流体や電磁場の発散は、場が物理的に外部にどれだけ流れ出ている、あるいは流れ込んでいるかをあらわす。空間内の各点において、発散の値が正ならば湧出している様子を、負ならば流入している様子を見てとることができる。

定義

一般的な定義

直交座標系において、ベクトル場 A = (A₁, A₂, ..., A_n) の、点 (p₁, p₂, ..., p_n) における発散、湧出量とはスカラー

${\partial A_1 \over \partial x_1}(p_1,\ldots,p_n) + {\partial A_2 \over \partial x_2}(p_1,\ldots,p_n) + \cdots + {\partial A_n \over \partial x_n}(p_1,\ldots,p_n)$

のことである。さらに p を動かして得られる次のスカラー場、

${\partial A_1 \over {\partial x_1} } + {\partial A_2 \over {\partial x_2} } +\cdots + {\partial A_n \over {\partial x_n} }$

を、ベクトル場 A のダイバージェンス、発散あるいは湧出といい、div A, ∇ · A などとあらわす（· はドット積を、∇ はナブラを参照）。すなわち、

$\mathrm{div\,} \mathbf{A} = \nabla \cdot \mathbf{A} = {\partial A_1 \over \partial x_1} + {\partial A_2 \over \partial x_2} + \cdots + {\partial A_n \over \partial x_n}.$

3次元での定義

3次元のユークリッド空間上での直交座標系 x, y, z のにおいて、単位ベクトルの基底を i, j, k とする。

ベクトル場 A = (A_x, A_y, A_z) = A_x i + A_y j + A_z k における発散は

$\mathrm{div\,} \mathbf{A} = \nabla \cdot \mathbf{A} = {\partial A_x \over \partial x} + {\partial A_y \over \partial y} + {\partial A_z \over \partial z}$

となる。

性質

div は線型作用素である。
スカラー場 ψ とベクトル場 A について、次の積の法則が成り立つ：
div(ψA) = grad(ψ) · A + ψ(div A)
二つの空間ベクトル場 A, B について次の積の法則が成り立つ：
div(A × B) = (rot A)· B - A ·(rot B)

ただし、ψA は ψA(p) = ψ(p)A(p) なるベクトル場、ψ(div A) も同様である。また、× は外積、grad は勾配で rot は回転である。

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Definición

Sinónimos

Diccionario analógico

発散

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目次

定義

一般的な定義

3次元での定義

性質

関連項目